Призма (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Призма (математика)»)
Перейти к: навигация, поиск
Множество однородных призм
Шестиугольная призма
Шестиугольная призма
Тип

Однородный многогранник[en]

Грани

Всего - 2+n2{n}
n {4}

Рёбра

3n

Вершины

2n

Конфигурация вершины

4.4.n

Символ Шлефли

{n}×{} or t{2, n}

Диаграмма Коксетера — Дынкина

CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel n.pngCDel node.png

Вид симметрии

Dnh[en], [n,2], (*n22), порядок 4n

Двойственный многогранник

Бипирамида

Свойства

вершинно транзитивный
выпуклый многогранник

Развёртка

Generalized prisim net.svg

Призма (от др.-греч. πρίσμα (лат. prisma) «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.

Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).

Виды призм[править | править вики-текст]

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1]. Другие призмы называются наклонными.
Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — прямоугольники.
Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
Усечённая треугольная призма

Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников, другую последовательность образуют антипризмы

Усечённая призма — это призма с непараллельными основаниями[2].

Элементы призмы[править | править вики-текст]

Название Определение Обозначения на чертеже Чертеж
Основания Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. ,
Призма
Боковые грани Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. , , , ,
Боковая поверхность Объединение боковых граней.
Полная поверхность Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые ребра Общие стороны боковых граней. , , , ,
Высота Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям.
Диагональ


Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Диагональная плоскость Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.
Диагональное сечение Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.
Перпендикулярное (ортогональное) сечение Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

Свойства призмы[править | править вики-текст]

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
  • Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
(здесь s — длина стороны многоугольника).
  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы , где — периметр основания призмы, — высота призмы.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным n-угольным основанием равна
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
  • Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.

Диаграммы Шлегеля[править | править вики-текст]

Triangular prismatic graph.png
Треугольная
призма
Cubical graph.png
4-угольная
призма
Pentagonal prismatic graph.png
5-угольная
призма
Hexagonal prismatic graph.png
6-угольная
призма
Heptagonal prismatic graph.png
7-угольная
призма
Octagonal prismatic graph.png
8-угольная
призма

Симметрия[править | править вики-текст]

Группой симметрии прямой n-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[en] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[en] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[en] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.

Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.

Призматические многогранники[править | править вики-текст]

Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.

Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.

Возьмём n-мерный многогранник с элементами (i-мерная грань, i = 0, ..., n). Призматический ()-мерный многогранник будет иметь элементов размерности i (при , ).

По размерностям:

  • Берём многоугольник с n вершинами и n сторонами. Получим призму с 2n вершинами, 3n рёбрами и гранями.
  • Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами, рёбрами, гранями и ячейками.
  • Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами, рёбрами, (2-мерными) гранями, ячейками и гиперячейками.

Однородные призматические многогранники[править | править вики-текст]

Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, ..., t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ..., t}×{}.

По размерностям:

  • Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
    • Complete graph K2.svg
  • Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
    • Square diagonals.svgПример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
  • многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {pq} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {pq}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • ...

Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.

Семейство правильных призм
Многоугольник Triangular prism.png Tetragonal prism.png Pentagonal prism.png Hexagonal prism.png Prism 7.png Octagonal prism.png Prism 9.png Decagonal prism.png Hendecagonal prism.png Dodecagonal prism.png Circular cylinder rh.svg
Мозаика Spherical triangular prism.png Spherical square prism.png Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism.png Spherical decagonal prism.png Infinite prism tiling.png
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 ∞.4.4

Скрученная призма[править | править вики-текст]

Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол радиан ( градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].

Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Наименьший случай называется многогранником Шёнхардта.

Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.

Треугольная Четырёхугольные 12-угольная
Schönhardt polyhedron.svg
Многогранник Шёнхардта
SquareAntiprism.png
Скрученная квадратная призма
Square antiprism.png
Квадратная антипризма
Twisted dodecagonal antiprism.png
Скрученная двенадцатиугольная призма

Связанные многогранники и мозаики[править | править вики-текст]

Семейство правильных призм
Многоугольник Triangular prism.png Tetragonal prism.png Pentagonal prism.png Hexagonal prism.png Prism 7.png Octagonal prism.png Prism 9.png Decagonal prism.png Hendecagonal prism.png Dodecagonal prism.png Circular cylinder rh.svg
Мозаика Spherical triangular prism.png Spherical square prism.png Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism.png Spherical decagonal prism.png Infinite prism tiling.png
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 ∞.4.4
Семейство выпуклых куполов
n 2 3 4 5 6
Название {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6}
Купол Triangular prism wedge.png
Диагональный купол
Triangular cupola.png
Трёхскатный купол
Square cupola.png
Четырёхскатный купол
Pentagonal cupola.png
Пятискатный купол[en]
Hexagonal cupola flat.png
Шестискатный купол
(плоский)
Связанные
однородные
многогранники
Треугольная призма
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Кубооктаэдр
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбокубо-
октаэдр

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбоикосо-
додекаэдр

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромботри-
шестиугольная
мозаика
[en]

CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Симметрии[править | править вики-текст]

Призмы тологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].

Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию[en].

Соединение многогранников[править | править вики-текст]

Существует 4 однородных соединения треугольных призм:

Соединение четырёх треугольных призм[en], соединение восьми треугольных призм[en], соединение десяти треугольных призм[en], соединение двенадцати треугольных призм[en].

Соты[править | править вики-текст]

Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:

Гироудлинённые альтернированные кубические соты[en], удлинённые альтернированные кубические соты[en], повёрнутые треугольные призматические соты, плосконосые квадратные призматические соты[en], треугольные призматические соты, треугольно-шестиугольные призматические соты, усечённые шестиугольные призматические соты, ромботришестиугольные призматические соты, плосконосые шестиугольные призматические соты, удлинённые треугольные призматические соты

Связанные многогранники[править | править вики-текст]

Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников[en]. Каждый последующий однородный многогранник[en] содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[en] идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121.

Четырёхмерное пространство[править | править вики-текст]

Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников[en], включая:

тетраэдральная призма[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
октаэдральная призма[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
кубооктаэдральная призма[en]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
икосаэдральная призма[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
икосододекаэдральная призма[en]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
усечённая додекаэдральная призма[en]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Tetrahedral prism.png Octahedral prism.png Cuboctahedral prism.png Icosahedral prism.png Icosidodecahedral prism.png Truncated dodecahedral prism.png
ромбоикоси-
додекаэдральная призма
[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
ромбокуб-
октаэдральная призма
[en]

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
усечённая кубическая призма[en]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
плосконосая додекаэдральная призма[en]
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
n-угольная антипризматическая призма[en]
CDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Rhombicosidodecahedral prism.png Rhombicuboctahedral prism.png Truncated cubic prism.png Snub dodecahedral prism.png Square antiprismatic prism.png
скошенный 5-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
скошено-усечённый 5-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
обструганный 5-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
струг-усечённый 5-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
скошенный тессеракт[en]
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
скошено-усечённый тессеракт[en]
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
обструганный тессеракт[en]
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
струг-усечённый тессеракт[en]
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
4-simplex t02.svg 4-simplex t012.svg 4-simplex t03.svg 4-simplex t013.svg 4-cube t02.svg 4-cube t012.svg 4-cube t03.svg 4-cube t013.svg
скошенный 24-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
скошено-усечённый 24-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
обструганный 24-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
струг-усечённый 24-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
скошенный 120-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
скошено-усечённый 120-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
обструганный 120-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
струг-усечённый 120-ячейник[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
24-cell t02 F4.svg 24-cell t012 F4.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t013 F4.svg 120-cell t02 H3.png 120-cell t012 H3.png 120-cell t03 H3.png 120-cell t013 H3.png

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
  • Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
  • Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

Ссылки[править | править вики-текст]