Признак Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода[править | править вики-текст]

Пусть выполнены условия:

  • и имеет на ограниченную первообразную , то есть ;
  • функция ;
  • .

Тогда сходится.

  • Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .
  • Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.
  • Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа[править | править вики-текст]

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд , где и последовательность  — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)[править | править вики-текст]

Пусть выполнены условия:

  • Последовательность частичных сумм ограничена, то есть .
  • .
  • .

Тогда ряд сходится.

  • Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  • Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.
  • Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: .

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.