Признак сравнения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть даны два знакоположительных ряда:

и
.

Тогда, если, начиная с некоторого места (), выполняется неравенство:

,

то из сходимости ряда следует сходимость .

Или же, если ряд расходится, то расходится и .

Доказательство[править | править вики-текст]

Обозначим частные суммы ряда . Из неравенств следует, что Поэтому из ограниченности вытекает ограниченность а из неограниченности следует неограниченность Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для


Признак сравнения отношений[править | править вики-текст]

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Формулировка[править | править вики-текст]

Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места (), выполняется неравенство:

,

то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Доказательство[править | править вики-текст]

Перемножая неравенства, составленные для , получаем

или

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов и


Предельный признак сравнения[править | править вики-текст]

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка[править | править вики-текст]

Если и есть строго положительные ряды и

,

то при из сходимости следует сходимость , а при из расходимости следует расходимость .

Доказательство[править | править вики-текст]

Если то для достаточно больших


Из ограниченности частных сумм следует ограниченность частных сумм Соотношения обеспечивают на основании признака сравнения сходимость и вместе с тем сходимость Если же то и не может сходиться при расходящемся


Литература[править | править вики-текст]

  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
  • Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.

Ссылки[править | править вики-текст]