Признак сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике Признак сходимости числового ряда — это метод, позволяющий установить сходимость или расходимость бесконечного ряда:

Краткая запись:

Здесь последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Необходимое условие сходимости рядов[править | править код]

Если с ростом предел члена ряда не существует или не равен нулю, то ряд расходится[1].

Следовательно, условие необходимо (но не достаточно) для сходимости ряда. Другими словами, если это условие не выполнено, то ряд заведомо расходится, однако если оно выполнено, то нет гарантии, что ряд сходится — см., например, гармонический ряд.

Основные признаки сходимости[править | править код]

Ряды с неотрицательными членами[править | править код]

Ряды с неотрицательными членами называют также знакоположительными[2] или просто положительными[3].

Критерий сходимости знакоположительных рядов[править | править код]

Знакоположительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху[4].

Признак сравнения с мажорантой[править | править код]

Заключение о сходимости или расходимости ряда можно сделать на основании почленного сравнения его с другим рядом («мажорантой»), поведение которого уже известно[4].

Пусть даны два знакоположительных ряда: и . Если, начиная с некоторого номера (), выполняется неравенство: , то[5]:

  • из сходимости ряда следует сходимость ряда ;
  • из расходимости ряда следует расходимость и ряда.

Следствие для рядов с членами произвольного знака:

Если ряд абсолютно сходится и начиная с некоторого номера все , то и ряд сходится абсолютно.

Пример[6]. Докажем сходимость ряда обратных квадратов:

Для него рядом-мажорантой можно выбрать ряд:

Частичную сумму этого ряда можно представить в виде:

Поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале .

Признак Раабе[править | править код]

Этот признак сильнее, чем признак Даламбера и радикальный признак Коши[7].

Если для ряда существует предел:

то при ряд сходится, а при — расходится. Если , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда[8].

Интегральный признак Коши — Маклорена[править | править код]

Этот признак позволяет с полной определённостью определить, сходится или расходится ряд.

Пусть функция определена при , неотрицательна, монотонно убывает и .

Тогда ряд и несобственный интеграл:

сходятся или расходятся одновременно[9].

Пример[10]. Выясним сходимость ряда для дзета-функции Римана (в вещественном случае):

Для него порождающая функция имеет вид: . Вычислим интеграл:

если , или если Вывод: данный ряд сходится при и расходится при .

Признак Гаусса[править | править код]

Пусть для знакоположительного ряда отношение может быть представлено в виде:

где — постоянные, а последовательность ограничена. Тогда[11]:

  • ряд сходится, если либо либо
  • ряд расходится, если либо либо

Признак Куммера[править | править код]

Признак Куммера— чрезвычайно общий и гибкий признак сходимости рядов с положительными членами. Фактически он представляет собой схему для конструирования конкретных признаков[12].

Пусть даны знакоположительный ряд и последовательность положительных чисел такая, что ряд расходится.

Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство:

где .— положительная постоянная, то ряд сходится.

Если же, начиная с некоторого номера, то ряд расходится.

Чаще на практике применяют предельную форму признака Куммера: находим тогда в случае ряд сходится, а при — расходится.

Из признака Куммера получаются ряд других признаков:

Знакопеременные ряды[править | править код]

Знакопеременными называются ряды, члены которых могут быть как положительны, так и отрицательны.

Признак Даламбера[править | править код]

Этот признак также известен как критерий Даламбера. Он проще, чем признак Коши, однако слабее — если работает признак Даламбера, то всегда работает и признак Коши, однако существуют ряды, к которым признак Коши примени́м, а признак Даламбера не даёт результатов[13].

Если существует то:

  • если то ряд абсолютно сходится;
  • если то ряд расходится;
  • если , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

Пример[14]. Исследуем сходимость ряда где Вычислим предел:

Следовательно, ряд сходится при и расходится при Случай следует разобрать отдельно; проверка показывает, что тогда члены ряда не убывают (, поэтому ) так что и в этом случае ряд расходится.

Радикальный признак Коши[править | править код]

Если существует то:

  • если то ряд сходится, причём абсолютно;
  • если то ряд расходится;
  • если , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда[15].

Признак Коши сложнее, однако сильнее, чем признак Даламбера: если признак Даламбера подтверждает сходимость или расходимость ряда, то и признак Коши делает то же, однако обратное неверно[16].

Пример[17]. Исследуем ряд где — последовательность положительных чисел, причём

Согласно признаку Коши, возможны три случая.

  • Если то при ряд сходится, при — расходится, при определённый вывод сделать нельзя.
  • Если то ряд расходится.
  • Если ряд сходится.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов[править | править код]

Этот признак также называют критерий Лейбница.

Пусть для знакочередующегося ряда:

, где ,

выполняются следующие условия:

  • последовательность начиная с некоторого номера () монотонно убывает: ;

Тогда такой ряд сходится[18].

Признак Абеля[править | править код]

Числовой ряд сходится, если выполнены следующие условия[19]:

  • Последовательность монотонна и ограничена.
  • Ряд сходится.

Признак Дирихле[править | править код]

Пусть выполнены условия:

  • последовательность частичных сумм ограничена;
  • последовательность , начиная с некоторого номера, монотонно убывает: ;
  • .

Тогда ряд сходится.

Описанные выше признаки Лейбница и Абеля вытекают из признака Дирихле и поэтому слабее последнего[19].

Признак Бертрана[править | править код]

Если для ряда существует предел:

то при ряд сходится, а при — расходится. Если , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда[11].

Вариации и обобщения[править | править код]

Хотя большинство признаков имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их нередко можно использовать, чтобы показать сходимость или расходимость бесконечных произведений. Этого можно добиться, используя следующую теорему:

Теорема. Пусть — последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд .

Также аналогично, если , то имеет ненулевой предел тогда и только тогда, когда ряд сходится. Это можно доказать, логарифмируя произведение[20].

Примечания[править | править код]

  1. Фихтенгольц, 1966, с. 293—294.
  2. Матвеева и др..
  3. Фихтенгольц, 1966, с. 262.
  4. 1 2 Фихтенгольц, 1966, с. 264—266.
  5. Воробьёв, 1979, с. 51—52.
  6. Воробьёв, 1979, с. 52.
  7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 137. — 720 с.
  8. Фихтенгольц, 1966, с. 273—274.
  9. Фихтенгольц, 1966, с. 282—285.
  10. Воробьёв, 1979, с. 61.
  11. 1 2 Фихтенгольц, 1966, с. 279.
  12. Фихтенгольц, 1966, с. 277—279.
  13. Фихтенгольц, 1966, с. 271—272, 275.
  14. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — С. 274. — 544 с.
  15. Фихтенгольц, 1966, с. 270—271.
  16. Фихтенгольц, 1966, с. 272, 275 (примеры 3, 4).
  17. Фихтенгольц, 1966, с. 274 (пример 1).
  18. Фихтенгольц, 1966, с. 302—303.
  19. 1 2 Фихтенгольц, 1966, с. 307—308.
  20. Belk. Convergence of Infinite Products (26 января 2008). Дата обращения: 21 сентября 2020. Архивировано 31 января 2017 года.

Литература[править | править код]

  • Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.

Ссылки[править | править код]