Признак Дирихле

Для термина «Дирихле» см. также другие значения.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов

Рассмотрим функции $f$ и $g$, определённые на промежутке $[a;b)$, $a\in \mathbb {R}$, $b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ и имеющую в точке $b$ особенность (первого или второго рода). Пусть выполнены условия: интеграл с верхним переменным пределом $\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ определён для всех $x\in [a;b)$ и ограничен на $[a;b)$; функция $g(x)$ монотонна на $[a;b)$ и $\lim _{x\to b-}g(x)=0$. Тогда $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ сходится.

Доказательство

Рассмотрим интеграл $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt$ для некоторых $x_{1},x_{2}\in [a;b)$ (не ограничивая общности будем считать $x_{1}\leq x_{2}$). Так как $g(t)$ монотонна на $[x_{1};x_{2}]$, она на нём интегрируема, а значит, и $f(t)g(t)$ интегрируема на $[x_{1};x_{2}]$ как произведение интегрируемых функций.

$f(t)$ — интегрируема, $g(t)$ — монотонна. Условия второй теоремы о среднем выполнены и существует такая точка $\xi \in [x_{1};x_{2}]$, что

$\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt$.

Функция $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt$ ограничена на $[a;b)$, а значит, есть $M\geq 0$ такой, что $\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|\leq M$, $\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M$. Тогда:

$\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|+|g(x_{2})|\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|M+|g(x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)$

$g(x)$ мотонно стремится к нулю, следовательно, она ограничена с одной стороны $g(a)$, а с другой $0$. Тогда $|g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|$ и

$\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|$.

$g(x)\to 0$, что по определению означает

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon$

Тогда $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b)$ ($x_{1}$ берём меньше или равно $x_{2}$)

$\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepsilon$,

что есть не что иное, как критерий Коши сходимости несобственного интеграла.

Признак можно сформулировать и для случая, если особенность в точке $a$. Пусть $a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$, $b\in \mathbb {R}$ и $f$ определена на $(a;b]$. В таком случае условия видоизменяются следующим образом:

• интеграл с нижним переменным пределом $\int \limits _{x}^{b}f(t)\,dt$ определён для всех $x\in (a;b]$ и ограничен на $(a;b]$;
• $g(x)$ монотонна на $(a;b]$ и $\lim _{x\to a+}g(x)=0$.

Тогда $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ сходится.

Необязательно также, что $a<b$. Если $a>b$, то $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$ и сходимость $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ равносильна сходимости $\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$.

Если интеграл удовлетворяет условиям признака Дирихле, то для его остатка верна следующая оценка:

$|r_{\xi }|=\left|\int \limits _{\xi }^{b}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(\xi )|$

Здесь $\xi$ – произвольное число из промежутка, а $M$ — число, которым ограничен интеграл с верхним переменным пределом. При помощи этой оценки можно приближать значение несобственного интеграла собственным с любой наперёд заданной точностью.

• Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{{\sqrt {x}}+\sin x}}\,dx=\infty .$

Однако условие монотонности не является необходимым.

$\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x+2\sin x}}\,dx$ — сходится.

• Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$, где $|B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N}$ и последовательность $\{a_{n}\}$ — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

Пусть выполнены условия: Последовательность частичных сумм $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ ограничена, то есть $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N}$. $a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ сходится.

• Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
• Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{n+1}\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad \lim _{n\to \infty }c_{n}=0;$

$b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow$ сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

• Оценка остатка ряда Абелева типа
  Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: $|r_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$.
• Доказательство признака Дирихле вытекает из преобразования Абеля.

Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром

Пусть функция $f$ и $g$ определёны на множестве $[a;b)\times Y$, $a\in \mathbb {R}$, $b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ и допускается, что интеграл $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$ для каких-то точек $y\in Y$ имеет особенность в точке $b$. Пусть выполнены условия: интеграл с верхним переменным пределом $\int \limits _{a}^{x}f(t,y)\,dt$ определён для всех $x\in [a;b)$, $y\in Y$ и равномерно ограничен на $[a;b)\times Y$; функция $g(x,y)$ монотонна по $x$ на $[a;b)$ для каждого конкрентого $y\in Y$ и $g(x,y)\rightrightarrows 0$ при $x\to b-$. Тогда $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)g(x,y)\,dx$ сходится равномерно.

Доказательство

Доказательство почти идентично случаю интеграла без параметра. Фиксируем $y\in Y$ и далее рассматриваем функции $f(x,y)$ и $g(x,y)$ как функции одной переменной $x$. Для них делаем всё то же, что и в доказательстве для интегралов без параметра, за исключением того, что $M$ берём одинаковый для всех $y\in Y$ (это возможно сделать по вполне ограниченности). Приходим к

$\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1},y)|$.

$g(x,y)$ — равномерно стремится к нулю. Запишем определение равномерной сходимости:

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|<\varepsilon$

Тогда $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y$

$\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)|<2M\varepsilon$.

Пришли к критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром.

См. также

• Признак Абеля

Литература

А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.