Принцип Дюамеля

В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамеля (1797—1872), французского математика.

Дано неоднородное волновое уравнение:

$u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)$

с начальными условиями

$u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.$

Решение имеет вид:

$u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)}f(\xi ,s)\,d\xi \,ds.$

Для линейного ОДУ с постоянными коэффициентами

Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путём нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля. Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:

$P(\partial _{t})u(t)=F(t)$

$\partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1$

где

$P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\;a_{m}\neq 0.$

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

$P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.$

Определим $H=G\chi _{[0,\infty )}$, $\chi _{[0,\infty )}$ - характеристическая функция на интервале $[0,\infty )$. Тогда

$P(\partial _{t})H=\delta$

есть обобщённая функция.

$u(t)=(H\ast F)(t)$

$=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau$

$=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau$

есть решение ОДУ.

Для уравнений в частных производных

Пусть есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:

$P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)$

где

$D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}$

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

Сначала, используя Преобразование Фурье в x имеем

$P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).$

где $P(\partial _{t},\xi )$ это ОДУ порядка m по t. Пусть $a_{m}$ это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в $P(\partial _{t},\xi )$.

Для каждого $\xi$ решим $G(t,\xi )$

$P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.$

Определим $H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)$. Тогда

$P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)$

есть обобщённая функция.

${\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)$

$=\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau$

$=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau$

есть решение уравнения (после перехода назад к x).