Принцип аргумента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Контур C изображён чёрным, нули f — синим, а полюса — красным. В данном случае .

Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему:

Теорема. Если функция мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области с гладкой границей и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула:

,

где и  — количества соответственно нулей и полюсов функции в , учтённых каждый с его кратностью, а  — изменение аргумента при обходе вдоль контура области (ориентация контура стандартная).

Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть , причём функция голоморфна в точке и не равна в ней нулю (точка из области ). Тогда

.

Так как 1-форма голоморфна в точке , её вычет в этой точке равен нулю, и вычет формы в точке равен , то есть он равен порядку нуля (или минус порядку полюса) функции в этой точке.

Используя эти соображения и основную теорему о вычетах, интеграл в формулировке теоремы можно вычислить явно:

.

Таким образом, первая половина формулы доказана.

Чтобы доказать вторую половину формулы, проведём простой разрез внутри области , проходящий через все нули и полюса функции , и выходящий на границу области в некоторой точке . Область с разрезом \ теперь односвязна, и замкнутая 1-форма не имеет особенностей внутри неё и на контуре , и значит точна в , то есть допускает там первообразную . Функция будет первообразной для формы также и вдоль контура области с выколотой точкой . Поэтому можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

.

Так как , то функция с точностью до константы совпадает с некоторой однозначной ветвью логарифма функции , и поэтому справедливо равенство:

.

Подставляя это выражение в формулу Ньютона-Лейбница, окончательно получаем:

.

См. также[править | править вики-текст]