Принцип максимума модуля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формулировка[править | править вики-текст]

Если голоморфна в некоторой области и существует точка такая, что во всей области выполняется неравенство , то .

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области .

Следствия[править | править вики-текст]

  • Принцип минимума модуля. Если аналитична в некоторой области , не обращается там в нуль, и существует точка такая, что во всей области выполняется неравенство , то . (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
  • Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции в точке достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций и , а также равенство .)

  • Пусть  — компактное подмножество. Для всякой функции , непрерывной на и аналитичной внутри , выполнено равенство:

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта , тогда она сходится равномерно на всём .