Присоединённое представление алгебры Ли

Присоединённым представлением алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ называется линейное представление $\operatorname {ad}$ алгебры ${\mathfrak {g}}$ в модуле ${\mathfrak {g}}$ , действующее по формуле

\operatorname {ad} _{x}y=[x,y],\ \ x,y\in {\mathfrak {g}},

где $[\cdot ,\cdot ]$ ― операция в алгебре ${\mathfrak {g}}$ .

Свойства

Ядро $\ker \operatorname {ad}$ есть центр алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ .
Присоединённые операторы $\operatorname {ad} _{x}$ являются дифференцированиями алгебры ${\mathfrak {g}}$ и называются внутренними дифференцированиями.
Образ $\operatorname {ad}$ $\operatorname {ad}$ называется присоединённой алгеброй и является идеалом в алгебре Ли $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}$ $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}$ всех дифференцирований алгебры ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ , причём $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}/\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}$ $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}/\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}$ есть пространство $H^{1}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})$ $H^{1}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})$ 1-мерных когомологий алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ , определяемых присоединённым представлением.
- В частности, $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}=\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}$ , если ${\mathfrak {g}}$ ― полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0.