Присоединённое представление группы Ли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Присоединённое представление группы Лилинейное представление группы Ли на своей алгебре Ли. Обычно обозначается .

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — группа Ли. Касательное пространство в единице группы есть её алгебра Ли . Для каждого элемента рассмотрим дифференциал

внутреннего автоморфизма

Полученное действие называется присоединённым представлением.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Если  — линейная группа в пространстве , то
Дифференциалом присоединённого представления группы в единице служит присоединённое представление её алгебры Ли.
  • Образом группы Ли при присоединённом представлении называется присоединённая группа группы и обозначается .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Ядро содержит центр группы .
    • Более того, в случае, когда связна и основное поле имеет характеристику , совпадает с центром.
  • Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален.
  • Если основное поле имеет характеристику 0 и связна, то однозначно определяется алгеброй Ли и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли .
    • В частности, если полупроста, то совпадает со связной компонентой единицы в .

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Основы теории групп Ли. — М.: ВИНИТИ, 1988. — С. 5—101. — (Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Т. 20).