Присоединённое представление группы Ли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Присоединённое представление группы Ли  — линейное представление группы в касательном пространстве (или в алгебре Ли группы ), сопоставляющее каждому элементу дифференциал

внутреннего автоморфизма

Если  — линейная группа в пространстве , то

Дифференциалом присоединённого представления группы в единице служит присоединённое представление её алгебры Ли.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Образом группы Ли при присоединённом представлении называется присоединённая группа группы и обозначается .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Ядро содержит центр группы .
    • Более того, в случае, когда связна и основное поле имеет характеристику , совпадает с центром.
  • Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален.
  • Если основное поле имеет характеристику 0 и связна, то однозначно определяется алгеброй Ли и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли .
    • В частности, если полупроста, то совпадает со связной компонентой единицы в .