Приятельские числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Приятельские числа — это два или более натуральных числа с одинаковым индексом избыточности, отношением суммы делителей чисел и самого числа. Два числа с одинаковой избыточностью образуют приятельскую пару, n чисел с одинаковой избыточностью образуют приятельский n-кортеж.

Быть приятелями является отношением эквивалентности, а потому порождает разбиение положительных натуральных чисел на клубы (классы эквивалентности) попарно приятельских чисел.

Число, не входящее в какую-либо приятельскую пару, называется отшельником.

Индекс избыточности числа n — это рациональное число , в котором означает сумму делителей. Число n является приятельским, если существует such that . Заметим, что избыточность, это не то же самое, что избыток, который определяется как .

Избыточность может быть также выражена как , где означает функцию делителя с , равным сумме k-ых степеней делителей n.

Числа от 1 до 5 являются отшельниками. Наименьшее приятельское число — это 6, образующее пару с числом 28 с индексом избыточности , что равно . Общее значение 2 в этом случае целое, что неверно во многих других случаях. Числа с индексом избыточности 2 известны также как совершенные числа. Имеется ряд нерешённых задач, связанных с приятельскими числами.

Вопреки схожести названий, нет никакой связи приятельских чисел и дружественных чисел или компанейских чисел, хотя определения этих чисел тоже используют функцию делителей.

Примеры[править | править код]

В таблице голубые числа доказанно являются приятельскими (последовательность A074902 в OEIS), красные числа доказанно являются отшельниками (последовательность A095739 в OEIS), числа n, взаимно простые с (последовательность A014567 в OEIS), здесь не отмечены цветом, хотя они заведомо являются отшельниками. Остальные числа имеют неизвестный статус и выделены жёлтым фоном.

n n n n
1 1 1 37 38 38/37 73 74 74/73 109 110 110/109
2 3 3/2 38 60 30/19 74 114 57/37 110 216 108/55
3 4 4/3 39 56 56/39 75 124 124/75 111 152 152/111
4 7 7/4 40 90 9/4 76 140 35/19 112 248 31/14
5 6 6/5 41 42 42/41 77 96 96/77 113 114 114/113
6 12 2 42 96 16/7 78 168 28/13 114 240 40/19
7 8 8/7 43 44 44/43 79 80 80/79 115 144 144/115
8 15 15/8 44 84 21/11 80 186 93/40 116 210 105/58
9 13 13/9 45 78 26/15 81 121 121/81 117 182 14/9
10 18 9/5 46 72 36/23 82 126 63/41 118 180 90/59
11 12 12/11 47 48 48/47 83 84 84/83 119 144 144/119
12 28 7/3 48 124 31/12 84 224 8/3 120 360 3
13 14 14/13 49 57 57/49 85 108 108/85 121 133 133/121
14 24 12/7 50 93 93/50 86 132 66/43 122 186 93/61
15 24 8/5 51 72 24/17 87 120 40/29 123 168 56/41
16 31 31/16 52 98 49/26 88 180 45/22 124 224 56/31
17 18 18/17 53 54 54/53 89 90 90/89 125 156 156/125
18 39 13/6 54 120 20/9 90 234 13/5 126 312 52/21
19 20 20/19 55 72 72/55 91 112 16/13 127 128 128/127
20 42 21/10 56 120 15/7 92 168 42/23 128 255 255/128
21 32 32/21 57 80 80/57 93 128 128/93 129 176 176/129
22 36 18/11 58 90 45/29 94 144 72/47 130 252 126/65
23 24 24/23 59 60 60/59 95 120 24/19 131 132 132/131
24 60 5/2 60 168 14/5 96 252 21/8 132 336 28/11
25 31 31/25 61 62 62/61 97 98 98/97 133 160 160/133
26 42 21/13 62 96 48/31 98 171 171/98 134 204 102/67
27 40 40/27 63 104 104/63 99 156 52/33 135 240 16/9
28 56 2 64 127 127/64 100 217 217/100 136 270 135/68
29 30 30/29 65 84 84/65 101 102 102/101 137 138 138/137
30 72 12/5 66 144 24/11 102 216 36/17 138 288 48/23
31 32 32/31 67 68 68/67 103 104 104/103 139 140 140/139
32 63 63/32 68 126 63/34 104 210 105/52 140 336 12/5
33 48 16/11 69 96 32/23 105 192 64/35 141 192 64/47
34 54 27/17 70 144 72/35 106 162 81/53 142 216 108/71
35 48 48/35 71 72 72/71 107 108 108/107 143 168 168/143
36 91 91/36 72 195 65/24 108 280 70/27 144 403 403/144

Другой пример — 30 и 140 образуют приятельскую пару, поскольку 30 и 140 имеют одинаковый индекс избыточности:

Числа 2480, 6200 и 40640 являются членами клуба, так как все три числа имеют индекс избыточности 12/5.

Как пример нечётных приятельских чисел, рассмотрим 135 и 819 (индекс избыточности 16/9). Есть также случаи чётных чисел, приятельских с нечётными, например, 42 и 544635 (индекс 16/7).

Полный квадрат может быть приятельским числом, например, 693479556 (квадрат числа 26334) и число 8640 имеют индекс избыточности 127/36 (этот пример принадлежит Дину Хикерсону).

Числа-отшельники[править | править код]

Числа, принадлежащие клубу из одного элемента, поскольку нет других чисел, приятельских с ними, являются отшельниками. Все простые числа являются отшельниками. Более обще, если числа n и взаимно просты, то есть наибольший общий делитель этих чисел равен 1, а следовательно, является неприводимой дробью, то число n является отшельником (последовательность A014567 в OEIS). Для простого числа p мы имеем , и это число взаимно просто с p.

Неизвестно никакого метода общего вида, определяющего, является число отшельником или приятельским числом. Наименьшее число, классификация которого неизвестна (на 2009) — число 10. Есть предположение, что оно является отшельником, если это не так, его наименьший друг является довольно большим числом, как у числа 24 — хотя число 24 приятельское, его наименьшим другом является число 91.963.648. Для числа 10 нет приятельского числа, меньшего 2.000.000.000[1].

Большие клубы[править | править код]

Открытой проблемой является вопрос, существуют ли бесконечно большие клубы или взаимно приятельские числа. Совершенные числа образуют клуб и есть предположение, что существует бесконечно много совершенных чисел (по меньшей мере столько же, сколько чисел Мерсенна), но доказательств нет. К 2018 году известно 50 совершенных чисел и наибольшее из известных чисел имеет более 46 миллионов цифр в десятичной записи. Существуют клубы с более известными членами, в частности клубы, образованные мультисовершенными числами[en], то есть числами, индекс избыточности которых является целым числом. К началу 2013 года клуб приятельских чисел с индексом 9 насчитывал 2094 членов[2]. Хотя известно, что клубы мультисовершенных чисел довольно большие (за исключением самих совершенных чисел), есть предположение, что эти клубы конечны.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]