Проблема Гольдбаха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проблема Гольдбаха (гипотеза Гольдбаха, проблема Эйлера, бинарная проблема Гольдбаха)  — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Проблема Гольдбаха является известной открытой математической проблемой; в совокупности с гипотезой Римана включена под номером 8 в список проблем Гильберта (1900) и является одной из немногих проблем Гильберта, до сих пор остающихся нерешёнными по состоянию на 2010-е годы.

Более слабый вариант гипотезы — тернарная проблема Гольдбаха[⇨], согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел, была доказана в 2013 году перуанским математиком Харальдом Гельфготтом. Из справедливости утверждения бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует справедливость тернарной проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число, начиная с 4, есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7.

История[править | править вики-текст]

Письмо Гольдбаха Эйлеру, датированное 7 июня 1742 (Латынь-Немецкий).[1]

В 1742 году математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:

Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха, второе — бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера).

Частные результаты[править | править вики-текст]

Советским математиком Львом Шнирельманом в 1930-е годы доказано, что всякое превышающее единицу целое число представимо в виде суммы не более 300 тыс. простых чисел[2], в дальнейшем результат улучшался, к 1995 году удалось сократить число слагаемых до шести.

Тернарная проблема Гольдбаха[править | править вики-текст]

В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент Константин Бороздин доказал, что нижняя граница не превышает 3315 ≈ 3,25×106 846 168 ≈ 106 846 168. То есть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел.

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ван и Чэнь не опустили[3] нижнюю грань до ee11,503 ≈ 3,33339×1043 000 ≈ 1043 000,5, что, тем не менее, по-прежнему было вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел.

В 1997 году Дезуйе, Эффингер, те Риле и Зиновьев показали[4], что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость тернарной проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих 1020, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.

В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана Харальдом Гельфготтом[5][6][7][8].

Бинарная проблема Гольдбаха[править | править вики-текст]

Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения.

Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. Этот результат немного усилен в 1975 году Хью Монтгомери (англ. Hugh Montgomery) и Бобом Воном (англ. Bob Vaughan), они показали, что существуют положительные константы c и C такие, что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает .

В 1930 году Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел.[9] Этот результат многократно улучшался, так, в 1995 году Оливье Рамаре доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел. Из справедливости тернарной гипотезы Гольдбаха (доказанной в 2013 году) следует, что любое чётное число — сумма не более чем 4 простых чисел.

В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.

На апрель 2012 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена[10] для всех чётных чисел, не превышающих 4×1018.

Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение.

Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального вида[11][12].

В художественной литературе[править | править вики-текст]

В 1992 году вышел в свет и получил чрезвычайную популярность «роман идей» Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха». В рекламных целях издательство Faber&Faber пообещало миллион долларов тому из читателей, кто в течение двух лет после тиража даст решение задачи. Роман был переведен на десятки языков, в 2002 году появился его русский перевод[13].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125—129
  2. Понтрягин Л. С. Жизнеописание Льва Семёновича Понтрягина, математика, составленное им самим. — М.: Прима В, 1998. — 304 с. — ISBN 5-85240-062-9. — С. 72—79.
  3. J. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702—718. Addendum 34 (1991) 143—144.
  4. Jean-Marc Deshouillers, Gove Effinger, Herman te Riele, Dmitrii Zinoviev, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , Vol. 3, pp. 99 — 104. 1997.
  5. Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…
  6. Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
  7. Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
  8. Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
  9. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001.
  10. Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  11. Yuri Matiyasevich. Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done.
  12. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993. […] мы можем переформулировать гипотезу Гольдбаха как утверждение о том, что диофантово уравнение разрешимо относительно при всех значениях параметра
  13. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха на сайте Ozon

Литература[править | править вики-текст]

  • Математическая энциклопедия. М.1977. Том I, стр.94, статья «Аддитивные проблемы».
  • Прахар К. П. Распределение простых чисел. — Москва: Мир, 1967. — 512 с.
  • Иэн Стюарт[en]. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

Ссылки[править | править вики-текст]