Проблема червя Мозера

Нерешённые проблемы математики: Какова минимальная площадь фигуры, которая может покрыть любую кривую единичной длины?

Проблема червя Мозера — открытая проблема в геометрии, сформулированная австрийско-канадским математиком Лео Мозером в 1966 году. Задача состоит в поиске области наименьшей площади, покрывающей любую плоскую кривую единичной длины . Здесь «покрыть» означает, что кривая может быть повёрнута и перенесена параллельно, чтобы поместиться внутри области. В некоторых вариантах задачи область должна быть выпукла.

Примеры

Например, диск радиуса 1/2 может вместить любую кривую длины 1, если разместить середину кривой в центре диска. Другое возможное решение имеет форму ромба с углами 60 и 120 градусов ($\pi /3$ и $2\pi /3$ радиан) в вершинах и с длинной диагональю единичной длины. Но это не оптимальные решения, известны другие фигуры, которые решают задачу с меньшей площадью

Свойства решения

Нетривиален факт, что решение существует — другой возможностью может быть существование минимальной области, к которой можно приблизиться в пределе, но не получить фактически. Однако, в выпуклом случае существование решения следует из теоремы выбора Бляшке.

Также нетривиально определить, образует ли заданная форма решение задачи. Герриетс и Пуул высказали предположение, что форма покрывает любую кривую единичной длины тогда и только тогда, когда покрывает любую ломаную линию единичной длины из трёх отрезков, но Панракса, Ветцель и Вичирамала показали, что никакое ограниченное число отрезков в ломаной не подходит для такого теста.

Известные границы

Решение с площадью ~0.27524 из статьи Норвуда, Пуула и Лейдакера 1992 года.

Проблема остаётся открытой, но в ряде статей исследователи сузили разницу между известными нижней и верхней границами. В частности, Норвуд и Пуул построили (невыпуклое) универсальное покрытие и показали, что минимальная фигура имеет площадь не больше 0,260437 а Торвуд, Пуул и Лейдакер дали более низкую верхнюю границу. Для случая выпуклой фигуры Ванг улучшил верхнюю границу до 0,270911861. Хандхавит, Пагонакис и Срисвасди использовали стратегию минимакса для площади выпуклого множества, содержащего отрезок, треугольник и прямоугольник, чтобы показать, что нижней границей для выпуклого случая является 0,232239.

В 1970-х годах Джон Ветцель высказал гипотезу, что круговой сектор в 30 градусов единичного диаметра является искомым покрытием с площадью $\pi /12\approx 0{,}2618$. О доказательстве гипотезы независимо объявили Мовшович и Ветцель и Панракса и Вичирамала. Если доказательства будут подтверждены, верхняя граница для выпуклых покрывающих областей будет уменьшена примерно на 3 %.

См. также

• Задача о перемещении дивана, задача поиска фигуры наибольшей площади, которую можно переместить по коридору, имеющему излом под прямым углом (диван можно переносить параллельно и вращать).
• Задача об иголке, множество минимальной площади, которое может вместить любой отрезок единичной длины (допускается параллельный перенос, но не поворот)
• Задача Лебега, найти выпуклую фигуру наименьшей площади, которая может закрыть любое плоское множество единичного диаметра.
• Задача Беллмана о потерявшемся в лесу, найти кратчайший путь, чтобы выйти из леса, когда форма и размер леса человеку известны.

Литература

• John Gerriets, George Poole. Convex regions which cover arcs of constant length // The American Mathematical Monthly. — 1974. — Т. 81, вып. 1. — С. 36–41. — doi:10.2307/2318909. — .
• Tirasan Khandhawit, Dimitrios Pagonakis, Sira Sriswasdi. Lower Bound for Convex Hull Area and Universal Cover Problems // International Journal of Computational Geometry & Applications. — 2013. — Т. 23, вып. 3. — С. 197–212. — doi:10.1142/S0218195913500076. — arXiv:1101.5638.
• Rick Norwood, George Poole. An improved upper bound for Leo Moser's worm problem // Discrete and Computational Geometry. — 2003. — Т. 29, вып. 3. — С. 409–417. — doi:10.1007/s00454-002-0774-3.
• Rick Norwood, George Poole, Michael Laidacker. The worm problem of Leo Moser // Discrete and Computational Geometry. — 1992. — Т. 7, вып. 2. — С. 153–162. — doi:10.1007/BF02187832.
• Chatchawan Panraksa, John E. Wetzel, Wacharin Wichiramala. Covering n-segment unit arcs is not sufficient // Discrete and Computational Geometry. — 2007. — Т. 37, вып. 2. — С. 297–299. — doi:10.1007/s00454-006-1258-7.
• Wei Wang. An improved upper bound for the worm problem // Acta Mathematica Sinica. — 2006. — Т. 49, вып. 4. — С. 835–846.
• Chatchawan Panraksa, Wacharin Wichiramala. Wetzel’s sector covers unit arcs // Periodica Mathematica Hungarica. — 2021. — Т. 82, вып. 2. — С. 213—222. — doi:10.1007/s10998-020-00354-x.
• Yevgenya Movshovich, John Wetzel. Drapeable unit arcs fit in the unit 30° sector // Advances in Geometry. — 2017. — Т. 17, вып. 4. — С. 497–506. — doi:10.1515/advgeom-2017-0011.