Проблема якобиана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.

Условия[править | править вики-текст]

Рассмотрим набор полиномов (1) (принадлежащих множеству всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных ). Предположим, что система уравнений имеет единственное решение для любого набора (принадлежащего множеству комплексных чисел), причём существуют такие многочлены , что каждое . Предполагается, что многочлены не зависят от набора свободных членов . Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из однозначно представляется в виде многочлена от (и от ). Система (1) задаёт полиномиальное отображение , при котором (2). Отображение является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение , переводящее в также является полиномиальным. Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения ) размера , в которой на месте стоит частная производная . Зададим другое полиномиальное отображение и  — их композиция (произведение). . Вычисляя определители, получаем, что . В частности, если заданы полиномиальные отображения и , то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица , и, следовательно, является ненулевой константой.

Формулировка[править | править вики-текст]

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение вида (2), причем является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из в виде многочлена от ?

Результаты[править | править вики-текст]

Достаточно решить проблему якобиана в случае, когда и степени не выше 150, а также если любое, но степени всех многочленов не выше 2.[1] Кроме того, за счет увеличения числа переменных можно считать, что каждое является многочленом степени не выше 3[1].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Bass H., Connell E.H., Wright D. The Jacobian Conjecture // Bull. Amer. Math. Soc., 1982, vol. 7, № 2, с. 287—330.

Литература[править | править вики-текст]

  1. В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;