Проблемы Ландау

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

На Международном конгрессе математиков 1912 года Эдмунд Ландау перечислил четыре главные проблемы в теории простых чисел. Эти проблемы были выражены в его докладе как «неприступные при текущем состоянии математики» и они известны теперь как проблемы Ландау.

  1. Гипотеза Гольдбаха: Можно ли любое целое чётное число, большее 2, записать в виде суммы двух простых?
  2. Гипотеза о числах-близнецах: Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?
  3. Гипотеза Лежандра: Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
  4. Существует ли бесконечно много простых чисел p, для которых p − 1 является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида n2 + 1? (последовательность A002496 в OEIS).

Все четыре проблемы на 2018 год остаются открытыми.

Продвижение в направлении решения проблем[править | править код]

Гипотеза Гольдбаха[править | править код]

Теорема Виноградова[en] доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого n. В 2013 Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел больших 5[1]. В отличие от проблемы Гольдбаха, слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.

Теорема Чэня доказывает, что для всех достаточно больших n , где p простое, а q либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, не представимые в виде суммы двух простых, имеет плотность нуль[2].

В 2015 Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня[3]: любое чётное число, большее , является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

Гипотеза о числах-близнецах[править | править код]

Чжан Итан[4] показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с проектом «Polymath»[en][5]. При принятии обобщённой гипотезе Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (Мейнард[6], Голдстон, Пинц и Йылдырым[7]).

Чень показал, что имеется бесконечно много простых чисел p (позднее названных простыми числами Чэня), таких, что p+2 является простым или полупростым.

Гипотеза Лежандра[править | править код]

Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими p, меньше величины . Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×1018[8]. Контрпример около 1018 должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим . В частности,

[9].

Результат Ингема показывает, что существует простое между и для любого достаточно большого n[10].

Почти квадратные простые числа[править | править код]

Теорема Фридландера — Иванеца показывает, что бесконечно большое количество простых чисел имеют вид [11].

Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида с максимум двумя простыми делителями[12][13].

Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для L-функций на характерах Гекке[en] существует бесконечно много простых чисел вида с [14].

Дешуиллерс и Иванец[15], улучшив результат Хули[16] и Тодда[17], показали, что существует бесконечно много чисел вида с бо́льшим простым множителем по меньшей мере . Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы.

В обратную сторону, решето Бруна[en] показывает, что существует таких простых, меньших x.

Примечания[править | править код]

    • Helfgott, H.A. (2013), "Major arcs for Goldbach's theorem", arΧiv:1305.2897 [math.NT] 
    • Helfgott, H.A. (2012), "Minor arcs for Goldbach's problem", arΧiv:1205.5252 [math.NT] 
    • Helfgott, H.A. (2013), "The ternary Goldbach conjecture is true", arΧiv:1312.7748 [math.NT] 
  1. Montgomery, Vaughan, 1975, с. 353–370.
  2. *Yamada, Tomohiro (2015-11-11), "Explicit Chen's theorem", arΧiv:1511.03409 [math.NT] 
  3. Zhang, 2014, с. 1121–1174.
  4. Polymath, 2014, с. 12.
  5. Maynard.
  6. Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım, 2006, с. 61–65.
  7. Andersen.
  8. Matomäki, 2007, с. 489–518.
  9. Ingham, 1937, с. 255–266.
  10. Friedlander, Iwaniec, 1997, с. 1054–1058.
  11. Iwaniec, 1978, с. 178–188.
  12. Oliver, 2012, с. 241–261.
  13. Ankeny, 1952, с. 913–919.
  14. Deshouillers, Iwaniec, 1982, с. 1–11.
  15. Hooley, 1967, с. 281—299.
  16. Todd, 1949, с. 517–528.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]