Проективная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Определение[править | править код]

Более подробно, пусть  — векторное пространство над полем (или, более обще, над телом ), а  — его полная линейная группа, то есть группа всех обратимых линейных преобразований. Эта группа коммутирует с гомотетиями пространства (умножениями на ненулевые константы поля ), а потому её элементы индуцируют преобразования проективного пространства (факторпространство по действию группы ).

Некоторые из них индуцированных преобразований действуют на тривиально — это в точности элементы группы гомотетий пространства . Проективная группа — это факторгруппа по ядру действия:

.

Если в пространстве явным образом выбрать координаты, то есть изоморфизм для натурального , получится

,

то есть проективная группа является факторгруппой группы невырожденных матриц по подгруппе ненулевых скалярных матриц.

Обобщения[править | править код]

Если вместо полной линейной группы взять специальную линейную группу , то есть ограничиться линейными преобразованиями с определителем 1, то получится проективная специальная линейная группа , также называемая унимодулярной проективной группой.

Свойства[править | править код]

  • Если  — конечное поле из элементов, то порядок группы равен [1].
  • При группа проста, за исключением случаев и [1].

Примечания[править | править код]