Проективный модуль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.

Определение[править | править вики-текст]

Модуль над кольцом (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма и эпиморфизма существует такой гомоморфизм , что , то есть данная диаграмма коммутативна:

Диаграмма для проективного модуля

Простейший пример проективного модуля — свободный модуль . В самом деле, пусть  — элементы базиса модуля и . Поскольку  — эпиморфизм, можно найти такие , что . Тогда можно определить, задав его значения на векторах базиса как .

Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.

В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль , что прямая сумма свободна. В самом деле, если есть компонента прямой суммы , которая является свободным модулем, и  — гомоморфизм, то тоже гомоморфизм ( — проекция прямой суммы на первое слагаемое ), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм , такой, что , отсюда , где  — гомоморфизм включения , отсюда

Обратно, пусть  — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть  — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм будет равен для некоторого , так как проективен. Любой элемент тогда представим в виде

,

где изоморфно .

Свойства[править | править вики-текст]

  • проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма индуцированный гомоморфизм является эпиморфизмом.
  • проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность в точную последовательность .
  • Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960
  • Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966..