Проективный предел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов и набору отображений , . Один из видов пределов в теории категорий.

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

,
.

Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

История[править | править вики-текст]

Проективные пределы появляются в работах Александрова. [1]

Определение[править | править вики-текст]

Алгебраические структуры[править | править вики-текст]

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть  — направленное множество (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу сопоставлена алгебраическая система из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре , такой что , , сопоставлен гомоморфизм , причём  — тождественные отображения для любого и для любых из . Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это фактормножество прямого произведения по транзитивному замыканию отношения эквивалентности, говорящего, что каждый элемент эквивалентен «меньшим» элементам:

.

Существуют канонические проекции , выбирающие -ю компоненту прямого произведения для каждого . Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай[править | править вики-текст]

InverseLimit-01.png

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть  — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда называется проективным пределом системы , или , если выполнены следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений , что для любых ;
  2. для любого семейства отображений , произвольного множества , для которого выполнены равенства для любых , существует единственное отображение , что , для всех .

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Целые -адические числа являются проективным пределом последовательности с естественными отображениями вида «взятие остатка» при .
  • Кольцо формальных степенных рядов над коммутативным кольцом  — проективный предел колец , индексированных натуральными числами, с естественными проекциями .
  • Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
  • Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
  • В категории топологических пространств проективные пределы задаются инициальной топологией[en] на соответствующем множестве-носителе.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александров П. С., «Аnn. of Math. », 1928, v. 30, p. 101-87.

Литература[править | править вики-текст]

  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.