Проективный предел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проективный (или обратный) предел — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект X по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов X_i и набору отображений f_{ij}:X_j\to X_i, i\leqslant j. Для проективного предела обычно используется обозначение

X=\varprojlim X_i, или X=\projlim X_i.

Определение[править | править исходный текст]

Алгебраические объекты[править | править исходный текст]

Определим сначала проективный предел алгебраических структур, таких как группы, модули, топологические пространства и т. д.[1]

Пусть I — направленное множество \leqslant (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу i\in I сопоставлен алгебраический объект X_i (все объекты — одного типа), а каждой паре (i,\;j), такой что i,\;j\in I, i\leqslant j, сопоставлен гомоморфизм f_{ij}:X_j\to X_i, причём f_{ii} — тождественные отображения для любого i\in I и f_{ik}= f_{ij}\circ f_{jk} для любых i\leqslant j\leqslant k из I.

Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это фактормножество X прямого произведения X_i по транзитивному замыканию отношения эквивалентности, говорящего, что каждый элемент эквивалентен «меньшим» элементам:

\varprojlim X_i = \bigg\{(x_i)\in\prod_{i\in I}X_i\mid x_i=f_{ij}(x_j) \forall i\leqslant j\bigg\}.

Существуют канонические проекции πi: XXi, выбирающие i-ю компонетну прямого произведения для каждого i в I. Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай[править | править исходный текст]

InverseLimit-01.png

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть (X_i, f_{ij}) — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда X называется проективным пределом системы (X_i, f_{ij}), или X=\varprojlim X_i, если выполнены следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений \pi_i:X\to X_i, что \pi_i=f_{ij}\circ\pi_j для любых i\leqslant j;
  2. для любого семейства отображений \psi_i:Y\to X_i, произвольного множества Y, для которого выполнены равенства \psi_i=f_{ij}\circ\psi_j для любых i\leqslant j, существует единственное отображение u:Y\to X, что \psi_i=\pi_i\circ u, для всех i\in I.

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы (X_i, f_{ij}).

Примеры[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. ISBN 978-0-387-09780-0.