Проектор (математика)

На этом рисунке преобразование $P$ является ортогональной проекцией на прямую $m$.

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор $P$, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором), если $P^{2}=P$. Такой оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор $P:X\to X$ является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства $U$ и $V$ пространства $X$, что $X$ раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов $u\in U,\ v\in V$ имеем $P(u+v)=u$. Подпространства $U$ и $V$ — соответственно образ и ядро проектора $P$, и обозначаются $\mathrm {Im} P$ и $\mathrm {Ker} P$.

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства $V$ пространства $X$, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с $V$.

Свойства проекционных операторов

• Пусть $I$ — тождественный оператор. Если $P$ — проектор, то $I-P$ тоже проектор, причём $\mathrm {Ker} {(I-P)}=\mathrm {Im} {P}$ и $\mathrm {Im} {(I-P)}=\mathrm {Ker} P$.
• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: $X=\mathrm {Ker} P\oplus \mathrm {Im} \,P$.
• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторов

Пусть $P_{1}$ и $P_{2}$ — проекторы, заданные на векторном пространстве $X$, и проецирующие на подпространства $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно. Тогда

• $P_{1}+P_{2}$ — проектор на подпространстве $M_{1}\oplus M_{2}$, в том и только том случае, когда $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$.
• $P_{1}-P_{2}$ является проектором тогда и только тогда, когда $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}$. $P_{1}-P_{2}$ проецирует на подпространство $M_{1}\cap (X\ominus M_{2})$.
• Если $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P$, то $P$ — проектор на подпространство $M_{1}\cap M_{2}$.

Примеры

• Ортогональная проекция (см. ниже) точек $(x,y,z)$ пространства $R^{3}$ на плоскость $Oxy$ задаётся матрицей

$P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

Действует на точки она следующим образом:

$P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.

• Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

$P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.$

Легко показать, что это действительно проектор:

$P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.$

Проекция, задаваемая $P$, ортогональна, тогда и только тогда, когда $\alpha =0$.

Ортогональный проектор

Если пространство $X$ — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства $U$ и $V$ ортогональны друг другу, иными словами, когда $\forall u\in U,\forall v\in V$ $(u,v)=0$, или $u\cdot v=0$, или $u\perp v=0$. В этом случае проекция элемента $x\in X$ является ближайшим к нему элементом пространства $U$.

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.