Произведение Кронекера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

Определение[править | править вики-текст]

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

В развёрнутом виде

Если A и B представляют собой линейные преобразования V1W1 и V2W2, соответственно, то AB представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1V2W1W2.

Пример[править | править вики-текст]

.

Билинейность, ассоциативность и некоммутативность[править | править вики-текст]

где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.

Если A и B квадратные матрицы, тогда A B и B A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.

Транспонирование[править | править вики-текст]

Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера:

Смешанное произведение[править | править вики-текст]

  • Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
  • A B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда

Сумма и экспонента Кронекера[править | править вики-текст]

  • Пусть A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и  — единичная матрица размера k×k. Тогда можно определить сумму Кронекера как
  • Также справедливо

Спектр, след и определитель[править | править вики-текст]

  • Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A B являются

Сингулярное разложение и ранг[править | править вики-текст]

Ненулевые сингулярные значения матрицы B:

Тогда произведение Кронекера A B имеет rArB ненулевых сингулярных значений

  • Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений,

История[править | править вики-текст]

Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.