Произведение Кронекера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

Определение[править | править код]

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

В развёрнутом виде

Если A и B представляют собой линейные преобразования V1W1 и V2W2, соответственно, то AB представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1V2W1W2.

Пример[править | править код]

.

Билинейность, ассоциативность и некоммутативность[править | править код]

где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.

Если A и B квадратные матрицы, тогда A B и B A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.

Транспонирование[править | править код]

Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера:

Смешанное произведение[править | править код]

  • Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
  • A B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда
, где - произведение Адамара
, где - единичная матрица.

Сумма и экспонента Кронекера[править | править код]

  • Пусть A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и  — единичная матрица размера k×k. Тогда можно определить сумму Кронекера как
  • Также справедливо

Спектр, след и определитель[править | править код]

  • Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A B являются

Сингулярное разложение и ранг[править | править код]

Ненулевые сингулярные значения матрицы B:

Тогда произведение Кронекера A B имеет rArB ненулевых сингулярных значений

  • Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений,

История[править | править код]

Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.

Блочные версии произведения Кронекера[править | править код]

В случае блочных матриц могут использоваться матричные операции, связанные c произведением Кронекера и отличающиеся порядком соответствующего перемножения блоков. Таковыми являются произведения Трейси – Сингха (англ. Tracy–Singh product) и произведение Хатри — Рао.

Произведение Трейси-Сингха[править | править код]

Указанная операция перемножения блочных матриц заключается в том, что каждый блок левой матрицы умножается последовательно на блоки правой матрицы. При этом формируемая структура результирующей матрицы отличается от характерной для произведения Кронекера. Произведение Трейси – Сингха определяется как[1][2]

Например:

Произведение Хатри-Рао[править | править код]

Основная статья: произведение Хатри-Рао

Данный вариант умножения определён для матриц с одинаковой блочной структурой. Он предусматривает, что операция кронекеровского произведения выполняется поблочно, в пределах одноимённых матричных блоков по аналогии с поэлементным произведением Адамара, только при этом в качестве элементов фигурируют блоки матриц, а для умножения блоков используется кронекеровское произведение.

Примечания[править | править код]

  1. Tracy, D. S.; Singh, R. P. (1972). “A New Matrix Product and Its Applications in Matrix Differentiation”. Statistica Neerlandica. 26 (4): 143—157. DOI:10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x.
  2. Liu, S. (1999). “Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products”. Linear Algebra and Its Applications. 289 (1—3): 267—277. DOI:10.1016/S0024-3795(98)10209-4.

Литература[править | править код]

  • Хорн Р. Матричный анализ: Пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989.– 655 с.