Произведение (теория категорий)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть задано  — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории . Объект категории вместе с семейством морфизмов является произведением семейства объектов , если для любого объекта и любого семейства морфизмов существует единственный морфизм , для которого следующая диаграмма:

Universal product of the product

коммутативна для каждого (то есть ). Морфизмы называются каноническими проекциями.

Приведенное определение равносильно следующему:

Объект вместе с семейством проекций является произведением семейства объектов тогда и только тогда, когда для любого объекта отображение

биективно.

Произведение двух объектов обычно обозначают , при этом диаграмма принимает вид

Universal product of the product

Морфизм при этом иногда обозначается .

Единственность результата операции можно альтернативно выразить как равенство , верное для любых .[1]

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
  • Коммутативность:
  • Ассоциативность:
  • Если в категории существует терминальный объект , то
  • Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.

Дистрибутивность[править | править вики-текст]

В общем случае существует канонический морфизм , где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Product-Coproduct Distributivity.png

Свойство универсальности для гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований[править | править вики-текст]

Любой морфизм

порождает множество морфизмов

задаваемых по правилу и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования задаёт единственный соответствующий морфизм Если в категории существует нулевой объект то для любых двух объектов существует канонический нулевой морфизм: В этом случае матрица преобразования , задаваемая по правилу

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.

Литература[править | править вики-текст]