Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 18 августа 2022 года; проверки требуют 14 правок.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 18 августа 2022 года; проверки требуют 14 правок.
У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.
Данная статья описывает производные вещественных функций. О производной комплексных функций см. Комплексный анализ.
Иллюстрация понятия производной
Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (при условии, что такой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.
Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Ньютон называл производную флюксией, обозначая точкой над символом функции, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал[1].
Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов, переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée, используемый французским математиком Лагранжем[2].
Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление
Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсциссаx0 и вычисляется соответствующая ординатаf(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией
Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсомугла наклона касательной прямой.
Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени . Новая функция также имеет производную. Эта т. н. вторая производная, обозначается как , а функция выражает мгновенное ускорение в момент времени
Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью
Анимация, дающая первоначальное интуитивное представление о производной, как о «размахе» изменения функции при изменении аргумента (нажмите для воспроизведения).
Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной.
Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
или
или
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,
Класс функций, у которых производная -порядка является непрерывной, обозначается как .
В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:
Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.
Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
— производная первого порядка по при , или — вторая производная по в точке и т. д.
Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:
, или иногда .
В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение , ; для значения производной в точке — . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.
Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:
Для непрерывных функций на отрезке , дифференцируемых на интервале справедливы:
Лемма Ферма. Если принимает максимальное или минимальное значение в точке и существует , то .
Теорема о нуле производной. Если принимает на концах отрезка одинаковые значения, то на интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если — постоянное число и — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций.
После чего мы должны взять производную этих обеих функций.
Теперь мы должны выразить производную арксинуса.
Исходя из тригонометрического тождества() — получаем.
Для того чтобы определить знак корня в знаменателе нужно взглянуть на область значений арксинуса.
Так как косинус находится в 1-й и 4-й четвертях, то косинус положительный.
Отсюда
Доказательство
Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества:
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
Теперь выражаем производную арккосинуса.
Получается.
Доказательство
Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функии:
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
Теперь мы должны выразить производную арктангенса:
Теперь на помощь нам придет на помощь тождество():
Получается.
Доказательство
Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества:
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
Теперь выражаем производную арккотангенса.
Получается.
Доказательство
Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
Получается.
Доказательство
Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества:
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
Теперь выражаем производную арккосинуса.
Получается.
↑Комков Г. Д., Левшин Б. В., Семенов Л. К. Академия наук СССР. Краткий исторический очерк (в двух томах). — 2-е изд. — М.: Наука, 1977. — Т. 1. 1724—1917. — С. 173.