Производная функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

История[править | править исходный текст]

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]

Определение[править | править исходный текст]

Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \R определена функция f\colon U(x_0) \subset \R \to \R. Производной функции называется такое число ~A, что функцию в окрестности  U(x_0) можно представить в виде

f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)

если ~A существует.

Определение производной функции через предел[править | править исходный текст]

Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \R определена функция f\colon U(x_0) \subset \R \to \R. Производной функции f в точке x_0 называется предел, если он существует,

f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

Общепринятые обозначения производной функции y=f(x) в точке x_0[править | править исходный текст]

f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Дифференцируемость[править | править исходный текст]

Производная ~f'(x_0) функции f в точке x_0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x_0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

f \in \mathcal{D}(x_0)\Leftrightarrow\exists f'(x_0) \in (-\infty;\infty).

Для дифференцируемой в x_0 функции f в окрестности U(x_0) справедливо представление

~f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0) при x \to x_0.

Замечания[править | править исходный текст]

  • Назовём \Delta x = x - x_0 приращением аргумента функции, а \Delta y = f(x) - f(x_0) или \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) приращением значения функции в точке x_0. Тогда
    f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.
  • Пусть функция f\colon(a,b) \to \R имеет конечную производную в каждой точке x_0 \in (a,b). Тогда определена произво́дная фу́нкция
    f'\colon(a,b) \to \R.
  • Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
  • Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).

Геометрический и физический смысл производной[править | править исходный текст]

Тангенс угла наклона касательной прямой[править | править исходный текст]

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Если функция f\colon U(x_0) \to \R имеет конечную производную в точке x_0, то в окрестности U(x_0) её можно приблизить линейной функцией

f_l(x) \equiv f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).

Функция f_l называется касательной к f в точке x_0. Число  ~f'(x_0) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции[править | править исходный текст]

Пусть s=s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t_0)=s'(t_0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t_0. Вторая производная a(t_0) = s''(t_0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t_0.

Вообще производная функции y=f(x) в точке x_0 выражает скорость изменения функции в точке x_0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y=f(x).

Производные высших порядков[править | править исходный текст]

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).

Если функция f дифференцируема в x_0, то производная первого порядка определяется соотношением

f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).

Пусть теперь производная n-го порядка f^{(n)} определена в некоторой окрестности точки x_0 и дифференцируема. Тогда

f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).

Если функция ~u = f(x, y, z) имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от ~x, y, z,  может иметь в некоторой точке ~(x_0,y_0,z_0) частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции ~u = f(x, y, z) эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

~u''_{x^2} = f''_{x^2}(x_0, y_0, z_0)  или  ~\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x^2}
~u''_{xy} = f''_{xy}(x_0, y_0, z_0)  или  ~\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x \partial y}

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

~u''_{xy} = f''_{xy}(x_0, y_0, z_0)

Способы записи производных[править | править исходный текст]

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

  • Лагранжа f^{(n)}(x_0), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:
f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x_0),
f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x_0),
f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x_0),
f^{(4)}(x_0) = f^{IV}(x_0), и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

  • Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
\frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0)
  • Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
\dot{x}(t_0) — производная первого порядка x по t при t=t_0, или \ddot{f}(x_0) — вторая производная f по x в точке x_0 и т. д.
 \mathrm{D}^n\!f(x_0), или иногда  \partial^n\!f(x_0).
  • В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение f_x, f_{xx}; для значения производной в точке — f_x\vert_{x=x_0}. Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

 f^{(n)}(x_0)= \frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0) = \overset {\overbrace{\cdot\cdot ... \cdot}^{n\ \mathrm {PA}3}}f(x_0) = \mathrm{D}^n\!f(x_0) = f{\underbrace{_{xx \ldots x}}_{n\ \mathrm{PA}3}}\vert_{x=x_0}.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Пусть f(x) = x^2. Тогда
f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{(x - x_0)(x + x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.
  • Пусть f(x) = |x|. Тогда если x_0 \neq 0, то
f '(x_0) = \sgn x_0,

где \sgn обозначает функцию знака.А если x_0 = 0, то f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1, а следовательно f'(x_0) не существует.

Правила дифференцирования[править | править исходный текст]

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

  • C'=0
  • x'=1
  • \left(f+g\right)'=f '+g'[2]
  • \left(fg\right)'=f'g+fg'[3]
  • \left(Cf\right)'=Cf'
  • \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2} …(g 0)
  • \left(\frac{C}{g}\right)'=-\frac{Cg'}{g^2} (g 0)
  • Если функция задана параметрически:

\left\{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}\; \; t\in\left[T_1; T_2 \right] \right., то y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=y'_t\cdot t'_x=\frac{y'_t}{x'_t}

  • \frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}=f'_g g'_x
  • Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):
(f g)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(n-k)} g^{(k)}}, где C_n^k — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

  • если функция дифференцируема на интервале (a,b), то она непрерывна на интервале (a,b). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y(x)=|x| на [-1,1]);
  • если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x, то f'(x)=0 (это так называемая лемма Ферма);
  • производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
  • (f(x)^{g(x)})' = f(x)^{g(x)} \left (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x)f'(x)} {f(x)}\right ) (\forall x \in D_f:   f(x)>0)

Таблица производных некоторых функций[править | править исходный текст]

Функция ~f(x) Производная ~f'(x) Примечание
~x^\alpha ~\alpha \cdot x^{\alpha-1}
~a^x ~a^x\cdot\ln {a}
~\log_a {x} ~\frac{1}{x\cdot \ln {a}}
~\sin x ~\cos x
~\cos x ~-\sin x
~ \mathrm{tg}\ x ~\frac{1}{\cos^2{x}}
~ \mathrm{ctg}\ x ~-\frac{1}{\sin^2{x}}
~\arcsin{x} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
~\arccos{x} -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
~ \mathrm{arctg}\ x ~\frac{1}{1+x^2}
~ \mathrm{arcctg}\ x ~-\frac{1}{1+x^2}
~ \mathrm{sh}\ x ~ \mathrm{ch}\ x
~ \mathrm{ch}\ x ~ \mathrm{sh}\ x
~ \mathrm{th}\ x ~\frac{1}{\mathrm{ch}^2\ x}
~ \mathrm{cth}\ x ~-\frac{1}{\mathrm{sh}^2\ x}

Производная вектор-функции по параметру[править | править исходный текст]

Определим производную вектор-функции \mathbf{r}(t) по параметру:

\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}.

Если производная в точке ~t существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут x'(t),\ y'(t),\ z'(t).

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Горный университет. Кафедра высшей математики
  2. Производная суммы равна сумме производных
  3. Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]