Пропорционирование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пропорционирование (нем. Proportionierung, от лат. pro-portio — соотношение, сразмерность) — способ гармонизации формы на основе равенства количественных отношений её частей. Пропорциональностью называют равенство (постоянство) отношений двух или более переменных величин. В математике пропорцией называется такое отношение (зависимость) величин, которое при увеличении или уменьшении одной величины в несколько раз (удвоении, утроении, уменьшении вдвое, …) другая увеличивается или уменьшается во столько же раз. Например, 1 : 2 = 3 : 6. Отношение таких величин называется коэффициентом пропорциональности или константой пропорциональности[1].

В теории искусства и художественной практике сложилось устойчивое определение: «Пропорция — закономерное соотношение величин частей художественного произведения между собой, а также каждой части с произведением в целом»[2].

В философии культуры это понятие рассматривают более широко, как способ установления оптимальной и целостной формальной структуры применением метода количественного согласования частей и целого, но отличают это понятие от категории содержательной целостности — композиции[3].

В архитектурной теории, напротив, используют более узкое определение: пропорция — это соотношение между длиной, шириной и высотой здания, фасада или его частей. Теоретическое изучение пропорций в архитектуре известно как теория пропорций[4].

Понятие пропорционирования в истории классического искусства

Достаточно сложная теория пропорций существовала в Древнем Египте, причём не только в математике, но и в искусстве[5]. От египетских жрецов математическую теорию пропорций унаследовали древние греки и римляне. Принято считать, что первым греческое слово «аналогия» (др.-греч. ἀναλογία), что дословно означает «вновь-отношение», заменил латинским аналогом лат. proportio римский оратор Цицерон.

Исследования пифагорейцев позволили разделить содержание понятий «соразмерность» и «пропорциональность». Древнеримский архитектор Витрувий в трактате «Десять книг об архитектуре» (13 г. до н. э.) назвал симметрией «простую соразмерность», или метрическую норму, словом «симметрия», а закономерную повторяемость, ритмическую, или динамическую, организацию элементов композиции — пропорцией[6]. Витрувий добавил к этому понятие модуса (лат.  modus — мера, величина, протяжение, положение). Модальность, или ладовость, — согласованность всех частей формы на основе какого-либо элемента, чаще всего модуля (наименьшей части принимаемой за единицу измерения). Модальность придает пропорциональному строю эмоциональную окраску, определённую тональность (в современной теории гармонии эти понятия распространяют и на цветовые отношения).

Практические способы и приёмы пропорционирования основаны на различении понятий «отношение» и «пропорция». Отношения величин или частей целого друг к другу бывают разного рода. Самые простые — кратные, выражающиеся целыми числами. Например, отношения сторон квадрата (1:1) или прямоугольника, состоящего из двух квадратов (1:2). Иррациональные отношения выражаются бесконечной дробью. Пропорционированием в теории гармонии, как и в математике, именуют равенство двух или более отношений. Соответственно наилучшая пропорция та, в которой уравнены отношения частей и каждой части к целому. Она и называется золотым сечением, или Божественной пропорцией (лат.  Sectio aurea; Proporcia Divina).

Древнегреческий философ Платон (ок. 427—347 гг. до н. э.) упоминал геометрический способ удвоения площади квадрата построением на его диагонали бóльшего квадрата. Второй квадрат содержит четыре «половинки» первого, следовательно, его площадь вдвое больше[7]. Это простейшее построение содержит в себе важную закономерность. Диагональ квадрата представляет собой иррациональную величину. Если мы примем сторону квадрата за 1, то его диагональ равна или 1,414… Таким образом, система мер, основанная на квадрате и его диагонали, несет в себе двойственность, полифонический принцип отношений простых целых и иррациональных чисел.

В истории античного искусства известен термин «квадратные фигуры» ((др.-греч. τετραγωνος). Древнеримский писатель Плиний Старший (23—79 гг. н. э.) называл «выглядящими квадратными» (лат.  signa quadrata) бронзовые статуи аргосской школы, в частности знаменитые «Дорифор» и «Диадумен» работы скульптора Поликлета. При этом он ссылался на энциклопедиста Марка Теренция Варрона (116—27 гг. до н. э.), предполагая, что слово «квадратный» может указывать не характер силуэта статуи, а способ пропорционирования, изложенный в теоретическом сочинении Поликлета «Канон» (сочинение не сохранилось)[8].

«Квадратная фигура» Поликлета. Схема пропорций. Реконструкция В. Г. Власова. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. Т. 4. 2006. С. 403
Египетская система диагоналей. Чертёж В. Г. Власова. 2005
Система древнерусских мер по Леонардо да Винчи и Б. А. Рыбакову. Чертёж В. Г. Власова. 2007

Статуи атлетов в изображении Поликлета действительно выглядят «квадратными» (в ином переводе «широких пропорций»). При анализе их пропорций оказывается, что модулем фигуры является сторона квадрата, диагональ которого, в свою очередь, служит стороной бóльшего квадрата, и т. д. В результате все части статуи выстраиваются пропорционально в системе «парных мер»: рациональных и иррациональных отношений. Так, высота всей фигуры делится кратно на две, четыре и восемь частей (голова фигуры составляет 1/8 роста). Однако при пластическом движении (опоре атлета на одну ногу, вторая нога согнута в колене и отставлена назад) возникают иррациональные отношения. Если мы примем за единицу (сторона малого квадрата) верхнюю часть фигуры (независимо от её действительного размера) — голову и торс до гребня подвздошной кости (на которую ложатся косые мышцы) — за единицу, то нижняя часть фигуры (тазовый пояс и опорная нога) будут равняться 1,618 (сторона бóльшего квадрата). Соответственно вся высота фигуры — 2,618. Эти отношения связаны закономерностью «золотого сечения», открытой ещё древними египтянами и являющейся универсальной[9].

Способы пропорционирования в истории архитектуры

В практике строительства зодчие разных времен до возникновения научной теории гармонии, как правило, интуитивно следовали закономерностям гармонизации формы. Эти навыки передавали от отца к сыну многими поколениями мастеров странствующих строительных артелей («вольных каменщиков» — масонов). В отличие от иррациональных глубин творчества числовые закономерности отношений величин подлежат точному расчету, анализу, фиксированию, и, следовательно, их легче передавать от одного поколения мастеров к другому, от учителей к подмастерьям в качестве «секретов мастерства».

Интуитивным критерием гармонии пропорций служила «золотая середина» (лат.  aurea mediocritas), а образцом — отношения величин, наблюдаемые в природе. Так древние эллины в своей архитектуре использовали целые числа, кратные модули и рациональные приёмы, но вводили «оптические поправки» и нюансирование, придававшие отношениям величин легкую неправильность. Таковы курватура (лат. curvatura — кривизна, искривление прямых линий и плоскостей), энтазис (др.-греч. ἔντασις — напряжение) — лёгкое утолщение колонн в средней части, контракция (нарушение равенства интерколумниев, сближение расстояний между колоннами).

Они также использовали эпиморные отношения (др.-греч. επι — сверх, над и др.-греч. μοριον — часть, частица), в которых, в отличие от простых кратных (1:2; 1:3; 1:4), превышение большей части равняется одной доле меньшей (например: 2:3; 3:4; 8:9), что практически близко отношениям «золотых отрезков». Такой способ проявился, в частности, при расчете количества колонн древнегреческих храмов на переднем и боковых фасадах по эпиморной формуле: n : (n + 1), когда на боковом фасаде количество колонн на одну больше, чем на переднем. Именно такую закономерность греки называли «аналогией».

В Национальном археологическом музее в Неаполе и в музее Терм в Риме, хранятся необычные предметы, найденные при раскопках Помпей и условно называемые пропорциональными циркулями. Они различаются в деталях, но сходятся в главном — две деревянные планки крестообразно скреплены неподвижным шарниром. Отношения их сторон соответствуют правилу «золотого сечения». Археологи находят схожие инструменты в разных регионах античного мира. Вероятно, они служили эталонами пропорциональных модулей в архитектуре[10].

Система пропорционирования в архитектуре всегда была тесно связана с техникой и технологией строительства, развитием геометрии и способами измерения величин. Необходимость разбивки плана здания на земле в натуральную величину способствовала развитию приёмов построения определенных пропорциональных отношений как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскостях. Простейший способ такого пропорционирования сводился к построению прямого угла на земле, от которого зависело проецирование центра тяжести будущего сооружения на середину основания (перпендикуляра от вершины к плоскости земли) — первого условия прочности и надёжности постройки. Древние зодчие решали эту задачу гениально просто. Они брали мерный шнур — верёвку, разделённую узлами на двенадцать равных частей, соединяли её концы (двенадцатый и нулевой узел) и, растягивая на земле, забивали колышки в землю на третьем, седьмом и двенадцатом делениях. При этом получался треугольник с отношениями сторон 3 : 4 : 5. Такой треугольник, согласно одной из аксиом геометрии и теоремы Пифагора, всегда будет прямоугольным. Получив прямой угол без всяких вычислений, строители могли его увеличивать до нужных размеров, переносить в вертикальную плоскость. Благодаря своим универсальным свойствам такой треугольник в истории архитектуры получил название: «египетский священный треугольник». Одна из гигантских пирамид в Гизе — пирамида Хефрена — представляет собой в поперечном сечении два «священных треугольника», а отношение высоты к стороне квадратного основания составляет 2:3 (143,5 : 215,25 м). За долгое время эти размеры несколько уменьшились (136,4 : 210,5 м).

Числа треугольника: 3, 4, 5, их сумма 12, а также 7, сумма 3 и 4, — постоянно встречаются в природе и также почитались священными. Согласно религиозным представлениям, универсальная геометрия египетского треугольника олицетворяла Великую триаду богов: Исида и Осирис (два катета) и их сын Гор (гипотенуза). «Бытие и небытие сопоставляются с Исидой и Осирисом, а диагональ с Гором-Соколом» (егип. ḥr — «высота», «небо»)[11].

Древние греки называли строителей египетских пирамид «гарпедонавтами» («натягивателями верёвок» от др.-греч. αρπεδονη — аркан, петля). Французский архитектор А. Фурнье де Кора, норвежская художница Е. Килланд и русский архитектор В. Н. Владимиров, изучая приемы пропорционирования древних зодчих, независимо друг от друга пришли к модели, объединяющей геометрические фигуры и численные отношения, закономерно повторяющиеся в планах и разрезах древних сооружений. Такая модель получила название «египетской системы диагоналей»[12][13][14][15].

Если мы возьмём квадрат (с отношением сторон 1:1) и спроецируем его диагональ (равную квадратному корню из двух) на продолжение одной из сторон, а затем из найденной точки восстановим перпендикуляр, то получим новую фигуру — прямоугольник. Проведя и в нём диагональ, обнаружим, что она равна квадратному корню из трёх. Повторим построение и увидим новый прямоугольник с более длинной стороной. Диагональ этого прямоугольника будет равняться квадратному корню из четырёх, то есть 2. Проецируя эту диагональ как в предыдущих случаях и восстановив перпендикуляр, получаем так называемый двусмежный квадрат (состоящий из двух равных квадратов) с диагональю равной квадратному корню из пяти. Внутри двусмежного квадрата (два квадрата чаще всего образуют планы древнеегипетских храмов) помещается ряд диагоналей, и соответственно иррациональных величин, связанных определенной последовательностью.

Отношение стороны квадрата к его диагонали часто использовалось в пропорциональных построениях, так как позволяло легко образовывать непрерывный ряд взаимосвязанных величин. Система вписанных или описанных квадратов с диагоналями была удобна, ибо давала архитектору своеобразную пропорциональную шкалу, на основании которой он мог строить соразмерность частей здания.

Аналогичные приёмы использовали древнерусские зодчие. Плотницких дел мастера осуществляли разметку плана сооружения прямо на земле без вычислений на основе квадрата и его диагонали. Для этого они использовали мерный шнур и деревянные колышки, вбитые в землю. Основной мерой была длина бревна, а модулем клеть из уложенных друг на друга венцов — связанных по углам четырех брёвен, образующих квадрат. Задачу построения прямого угла решали с помощью двух мерных шнуров — способом уравнивания диагоналей окладного (нижнего) венца (равенство диагоналей даёт квадрат). Следующая задача: проецирование диагонали (или её производной) на продолжение стороны квадрата давало второй модуль, равняющийся стороне квадрата удвоенной площади. На земле расчерчивали план будущего сооружения, к примеру, церкви — основной клети (так называемая клетская церковь) с пристроенными к ней притвором и алтарём. Закономерно, что древнерусские плотники самостоятельно нашли простейшее практическое решение задачи, хорошо известной в античности[16].

Историк и археолог Б. А. Рыбаков в 1950-х годах изучал древнерусские «вавилоны» — графические знаки, состоящие из подобных прямоугольников или квадратов, вписанных один в другой. Они встречаются в раскопках на глиняных черепках (керамидах) и каменных плитах, с XVII века — в русских летописях. По мнению исследователя, «вавилоны» представляют собой схематическое изображение Вавилонской башни и одновременно символ пропорционального канона[17].

Разрез Миланского собора по средокрестию. Чертёж Г. Сторналокко

Со временем на основе простого плотницкого опыта в Древней Руси сложилась изысканная система пропорционирования на основе «системы парных мер»: рациональных и иррациональных чисел. Об этом свидетельствуют обмеры храмов. Изучение древнерусских мер длины по данным Б. А. Рыбакова и других исследователей подтверждает этот факт. Строители в качестве мер длины использовали не одну, и не две сáжени, а шесть основных и одну дополнительную. Мерный шнур древнерусских плотников называли «сокарь» (от др.-греч. σωχος — сильный), Размеры саженей менялись, однако закономерность пропорционирования заключалась не в некой идеальной мере, а в х отношениях и, прежде всего, к размерам фигуры человека. Эта античная традиция, именуемая антропоморфизмом, сохранялась в византийском и древнерусском искусстве.

Сравнив отношения нескольких саженей, использовавшихся в древнерусском строительстве, и построив «вавилон» (по Б. А. Рыбакову), можно, допустив известную вольность, вписать в этот «вавилон» фигуру человека по известному рисунку Леонардо да Винчи, связанному, как предполагают, с трактатом об архитектуре Витрувия («Витрувианский человек»; лат. Homo vitruvianus). Антропоморфность древнерусских мер длины очевидна, как и аналогия мерных систем средневековой Руси и европейского Запада.

Западноевропейские средневековые строительные артели использовали в основном два способа геометрических построений. Самый простой способ расчёта размеров, восходящий к античным «квадратным фигурам», так и называли: квадратурой. Всю постройку вписывали в квадрат (в плане и высотных отношениях), а производные величины определяли диагональю квадрата, построенного на ширине главного фасада здания. Такой пример на основе обмеров фасада собора Нотр-Дам в Париже приводит в своей знаменитой книге Огюст Шуази[18]. Другой способ получил наименование триангуляция. Этому способу также придавали мистическое значение, в особенности при строительстве храмов, поскольку равносторонний треугольник — символ Пресвятой Троицы. Практически, согласно реконструкции Б. Р. Виппера, это выглядело следующим образом. На выбранной строительной площадке ровно в полдень в землю вкапывали жердь — гномон (указатель), обозначающий центр главного, западного фасада будущего здания. Полуденное солнце в средних широтах отбрасывает тень от гномона точно на север, и в этом направлении откладывали половину ширины фасада. Другую половину отмеряли в противоположную сторону. Затем на полученной ширине главного фасада с помощью мерных шнуров выстраивали на земле равнобедренный (в иных случаях равносторонний) треугольник. Его вершина отмечала половину длины главного нефа будущего храма. Потом зеркально выстраивали второй треугольник. Медиана треугольников, перпендикулярная к линии фасада определяла среднюю линию главного нефа храма, ориентированную по оси запад—восток. Основания треугольников делили на четыре равные части. Это давало правильное соотношение ширины главного нефа и двух боковых, которые полагалось делать вдвое уже. Точки пересечения малых треугольников намечали места будущих опор. Такую триангуляцию можно было дробить до бесконечно малых величин, переносить в вертикальную плоскость, определяя основные конструктивные точки фасадов и внутреннего устройства здания[19].

При закладке Миланского собора в 1387 году пригласили зодчих из Германии и Франции, которые поспорили: строить ли храм по «германскому способу» (ad quadratum) — на основе квадрата и его диагонали — или по «французскому способу» (ad triangulum) — на основе равностороннего треугольника. Чертёж поперечного сечения Миланского собора (по средокрестию), выполненный в 1391 году Габриэле Сторналокко из Пьяченцы, приведен в итальянском издании трактата Витрувия «Десять книг об архитектуре» Чезаре Чезариано 1521 года. Этот чертёж наглядно демонстрирует «связанную систему», в которой основные конструктивные точки собора вписаны не только в равносторонние треугольники, но и в концентрические окружности. Такая «связанная система» придаёт наибольшую прочность и зрительную цельность всему сооружению. Теорию пропорционирования в архитектуре в эпоху Возрождения разрабатывали Леон Баттиста Альберти, Андреа Палладио, Н. А. Львов. В Новое Время — И. В. Жолтовский, О. И. Гурьев, И. П. Шмелёв.

Известно, что Андреа Палладио не пользовался сложными вычислениями и иррациональными числами. В своём трактате «Четыре книги об архитектуре» (1570) он не упоминает о правиле золотого сечения, но предлагает пропорционировать здания «в один или два куба». Однако в постройках Палладио повторяются отношения: 2: 3: 5. Венецианский архитектор также прибегал к построениям подобия разновеликих прямоугольников на основе параллельных или перпендикулярных диагоналей (одна из аксиом геометрии). Такой приём получил в истории архитектуры название «правило прямого угла». Одним из символов гармонии пропорций в истории архитектуры является знаменитая постройка Палладио Вилла Ротонда.

Исследователь творчества Палладио, архитектор О. И. Гурьев подчёркивал, что, не упоминая о «золотом сечении», но следуя «правилу подобных прямоугольников и кубов», и выстраивая их на параллельных либо перпендикулярных диагоналях, Палладио устанавливал отношения величин, которые определяются «членами ряда Фибоначчи или родственны им: 9:5 есть утроенное отношение 3:5, а 3:1 — удвоенное отношение 3:2, и т. д.»[20].

Французский архитектор Ле Корбюзье создал на основе традиционной системы парных мер, «правила прямого угла» и двух «шкал» (рациональных и иррациональных величин) свой знаменитый «Модулор». Петербургский архитектор и теоретик искусства Игорь Павлович Шмелёв, изучая закономерности гармонии, создал собственную интерпретацию канона древнеегипетских жрецов на основе анализа деревянных досок из гробницы Хеси-Ра, жреца бога Гора и главного архитектора фараона Джосера в Саккара[21].

В истории изобразительного искусства теме пропорционирования посвятил одну из своих теоретических работ 1783 года живописец, сэр Джошуа Рейнольдс, а также английский гравёр Джон Томас Смит, назвавший свою теорию «правилом третéй».

Примечания[править | править код]

  1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике : Таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функции и графика. — М. : Наука, 1974
  2. Аполлон. Изобразительное и декоративное искусство. Архитектура. Терминологический словарь. — М.: НИИ теории и истории изобразительных искусств РАХ—Эллис Лак, 1997. — С. 483
  3. Волков Н. Н. Композиция в живописи. — В 2-х Т. — М.: Искусство, 1977. — С. 13
  4. Pevsner N., Honour H., Fleming J. Lexikon der Weltarchitektur. — München: Prestel, 1966. — S. 513
  5. Померанцева Н. А. Эстетические основы искусства Древнего Египта. — М.: Искусство, 1985
  6. Витрувий. Десять книг об архитектуре. — М.: КомКнига, 2005. — С. 12. — Кн. 1, гл. 2: 3—4
  7. Платон. Менон // Платон. Собр. соч. в 4-х т. — Т.1. — М.: Мысль, 1990. — С. 594—595 (85 а-с)
  8. Плиний Старший. Естествознание. Об искусстве. — М.: Ладомир, 1994. С. 65 (XXXIV, 55—56)
  9. Власов В. Г.. Теория формообразования в изобразительном искусстве. Учебник для вузов. — СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 2017. — C.121—122
  10. Волошинов А. В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 1992. — С. 227
  11. Шмелёв И. П. Третья сигнальная система // Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. — М.: Стройиздат, 1990. — С. 242—243
  12. Померанцева Н. А. Эстетические основы искусства Древнего Египта. — М.: Искусство, 1985. — С. 101
  13. Fournier des Corats A. La Proportion Égyptienne et les Rapports de Divine Harmonie. —Paris, 1957
  14. Kielland E. Geometry in Egyptian Art. — London, 1955
  15. Владимиров В. Н. Египет. Архитектура. Скульптура. Живопись. — М.: Изд-во Академии архитектуры СССР, 1944
  16. Власов В. Г.. Золотое сечение, или Божественная пропорция. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.III. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725—732
  17. Рыбаков Б. А. Архитектурная математика древнерусских зодчих // Советская археология. — 1957. — № 1. — С. 86—100
  18. Шуази О. История архитектуры: В 2 Т. — М.: Изд-во Вс. Академии архитектуры, 1937. — Т.2. — С. 359—362
  19. Виппер Б. Р. Введение в историческое изучение искусства. — М.: Изобразительное искусство, 1985
  20. Гурьев О. И. Композиции Андреа Палладио: Вопросы пропорциональности. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1984.— С. 18—20, 84
  21. Шмелев И. П. Архитектор фараона. — СПб.: Искусство России, 1993

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Волошинов А. В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 1992. — 336 с., ил.
  • Гурьев О. И. Композиции Андреа Палладио : Вопросы пропорциональности. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1984.
  • Шевелев И. Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. П. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. — М.: Стройиздат, 1990. — 343 с., ил.
  • Шмелев И. П. Архитектор фараона. — СПб.: Искусство России, 1993. — 95 с., ил.