Пропорция (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пропо́рция (лат. proportio — соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой), равенство отношений двух [и более] пар чисел и , т. е. равенство вида , или, в других обозначениях, равенство (часто читается как: « относится к так же, как относится к »). В этом случае и называют крайними, и  — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

Основные свойства пропорций[править | править код]

  • Обращение пропорции. Если , то
  • Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если , то
  • Перестановка средних и крайних членов. Если , то
   (перестановка средних членов пропорции),
   (перестановка крайних членов пропорции).
  • Увеличение и уменьшение пропорции. Если , то
   (увеличение пропорции),
   (уменьшение пропорции).
  • Составление пропорции сложением и вычитанием. Если , то
   (составление пропорции сложением),
   (составление пропорции вычитанием).

История[править | править код]

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] Позже Евдокс упростил определение, равенство пропорций им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

  • и ,
  • и ,
  • и

для любой пары натуральных чисел и . Это определение даётся в «Началах» Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, в несколько более абстрактном виде использовалось далее при определении вещественных чисел данное Дедекиндом через сечения.

Связанные определения[править | править код]

Арифметическая пропорция[править | править код]

Равенство двух разностей иногда называют арифметической пропорцией[3].

Гармоническая пропорция[править | править код]

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: . В этом случае, разложение на сумму двух слагаемых и называется гармоническим делением или золотым сечением[4].

Задачи на тройное правило[править | править код]

В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].

Литература[править | править код]

  • Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М.: ГИФМЛ, 1959.

Примечания[править | править код]

  1. Топика Аристотеля
  2. Von Fritz, Kurt. "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum." Annals of mathematics (1945): 242-264.
  3. Пропорции арифметические // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  4. Гармоническая пропорция // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  5. Справочник по элементарной математике
  6. Решение задач на простое тройное правило. Способы решения

См. также[править | править код]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «пропорция»