Пропорция (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пропо́рция (лат. proportio — соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой), равенство отношений двух [и более] пар чисел a , b и c , d, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство \ \frac ab=\frac cd (часто читается как: «a относится к b так же, как c относится к d»). В этом случае a и d называют крайними, b и cсредними членами пропорции. Такую пропорцию еще называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

Основные свойства пропорций[править | править вики-текст]

  • Обращение пропорции. Если \ \frac ab=\frac cd, то \ \frac ba=\frac dc
  • Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если \ \frac ab=\frac cd, то \ ad=bc
  • Перестановка средних и крайних членов. Если \ \frac ab=\frac cd, то
\ \frac ac=\frac bd    (перестановка средних членов пропорции),
\ \frac db=\frac ca    (перестановка крайних членов пропорции).
  • Увеличение и уменьшение пропорции. Если \ \frac ab=\frac cd, то
\ \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}    (увеличение пропорции),
\ \dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}    (уменьшение пропорции).
  • Составление пропорции сложением и вычитанием. Если \ \frac ab=\frac cd, то
\ \dfrac{a+c}{b+d}=\frac ab =\frac cd    (составление пропорции сложением),
\ \dfrac{a-c}{b-d}=\frac ab =\frac cd    (составление пропорции вычитанием).

История[править | править вики-текст]

В IV веке до н. э. древнегреческий математик Евдокс обобщил понятие пропорции на случай несоизмеримых величин (например, стороны и диагонали квадрата)[1]. Со временем математики пришли к осознанию того, что отношение величин есть число, что позволило перейти от пропорций с неизвестным к уравнениям, а от преобразования пропорций — к алгебраическим преобразованиям.[2]

Связанные определения[править | править вики-текст]

Арифметическая пропорция[править | править вики-текст]

Равенство двух разностей  a - b = c - d иногда называют арифметической пропорцией [3].

Гармоническая пропорция[править | править вики-текст]

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической:  a : b = b : (a - b) . В этом случае, разложение a на сумму двух слагаемых b и a-b называется гармоническим делением или золотым сечением[4].

Литература[править | править вики-текст]

  • Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М.: ГИФМЛ, 1959.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. ЕВДОКС Книдский. Новая философская энциклопедия.
  2. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика, 1989. — 352 с. — ISBN 5-7155-0218-7.
  3. Пропорции арифметические // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  4. Гармоническая пропорция // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «пропорция»