Пространство Соболева

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространство Соболева — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега (), имеющих обобщённые производные заданного порядка из . При пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при  — гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение .

Для области норма в соболевском пространстве порядка и суммируемых со степенью вводится по следующей формуле:

а при норма выглядит следующим образом:

где  — это мультииндекс, а операция есть обобщённая производная по мультииндексу.

Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.

Введение и история вопроса[править | править вики-текст]

Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.

В работе Фридрихса 1934 года[1] при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева  — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) ещё не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе Соболева[2] вводятся обобщённые решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщённые решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.

В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха — Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева — Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщённые решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.

В 1940-х годах Ладыженской было предложено определять обобщённые решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщённых решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.

Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах анализа и его приложений.

Свойства пространств Соболева[править | править вики-текст]

  • Для любой области из следует, что .
  • Если и , то .
  • Если финитная в , то продолжение этой функции нулем принадлежит для любой .
  • Пусть есть гладкое и взаимно однозначное отображение области на область и , тогда функция принадлежит пространству .
  • Пространства Соболева являются сепарабельными пространствами.
  • Если граница области удовлетворяет условию Липшица, то множество плотно в .
  • Пусть , где  — ограниченная область в , звездная относительно некоторого шара. Если , то их поточечное произведение , определенное почти всюду в , принадлежит пространству , более того, существует положительная константа , зависящая только от такая, что
, иными словами, является коммутативной банаховой алгеброй, умножение в которой согласовано с нормой .
  • Пространства при являются рефлексивными пространствами.
  • Пространства являются гильбертовыми пространствами.

Пространства Соболева [править | править вики-текст]

В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через и вводятся как замыкания множества по норме пространства , где есть множество финитных в бесконечно дифференцируемых функций.

Пространства являются замкнутыми подпространствами в . При наличии определенной гладкости границы области это пространство совпадает с множеством функций из , имеющих нулевой след на границе области и нулевой след всех обобщённых производных вплоть до -го порядка.

Пространства Соболева во всем пространстве[править | править вики-текст]

Пространства Соболева можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции определено преобразование Фурье , причем, . Пространство Соболева определяется следующим образом:

.

Пространства Соболева на торе[править | править вики-текст]

Пусть  — -мерный тор. Пространство Соболева на торе , то есть -периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:

.

Пространства Соболева дробного порядка[править | править вики-текст]

Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть или .

В случае 0<s<1 пространство состоит из функций , таких, что

Для нецелого s>1 положим , где  — целая часть s. Тогда состоит из элементов таких, что для с нормой

Пространства Соболева отрицательного порядка[править | править вики-текст]

При рассмотрении обобщённых решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство определяется по формуле:

где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщённых функций. Так, например, пространство содержит -функцию Дирака.

Теоремы вложения[править | править вики-текст]

Предполагая, что граница области удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.

Теорема вложения Соболева[править | править вики-текст]

Если , то имеет место непрерывное вложение

.

Здесь предполагается целым и неотрицательным, а может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема Реллиха — Кондрашова[править | править вики-текст]

Пусть область ограничена, , и , тогда: вложение вполне непрерывно.

С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.

Показательные примеры[править | править вики-текст]

Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.

Пример разрывной функции[править | править вики-текст]

Пусть  — круг на плоскости. Функция принадлежит пространству , но имеет разрыв второго рода в точке .

Пространства Соболева в одномерном случае[править | править вики-текст]

Функции из пространства являются непрерывными. Для любых двух функций из пространства произведение этих функций также принадлежит . Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
  • Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  • R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
  • Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976