Пространство Харди

Для термина «Харди» см. также другие значения.

Пространство Харди — особый вид функциональных пространств в комплексном анализе, аналог $L^{p}$-пространства из функционального анализа. Названо по имени английского математика Харди.

Определение

Пространство Харди $\ H^{p}$ при $0<p<\infty$ — это класс голоморфных функций на открытом единичном круге на комплексной плоскости, удовлетворяющих следующему условию

$\sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .$

Левая часть этого неравенства называется $\ p$-нормой в пространстве Харди или просто нормой Харди для $\ f$, и обозначается $\ |f|_{H^{p}}$. Как и в случае $L^{p}$-пространств, данная норма обобщается на случай $p=\infty$ как

$|f|_{H^{\infty }}\ =\ \sup _{0<r<1}\sup _{z:\ |z|=r}|f(z)|\ =\ \sup _{z:\ |z|<1}|f(z)|.$

Для случая $0<p<q\leq \infty$ можно показать, что $\ H^{q}$ является подмножеством множества $\ H^{p}$.

Применения

Подобные пространства применяются как в классическом математическом анализе, так и в других ветвях анализа и его приложениях, например, гармоническом анализе, теории управления (в частности, для синтеза робастных систем управления) и теории рассеивания.

См. также

• H∞-управление
• Теорема Фату