Пространство ограниченных последовательностей

Пространство ограниченных последовательностей — метрическое пространство. Каждый его элемент определяется как бесконечная последовательность чисел $x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }$, каждый член которой ограничен по модулю: $|x_{i}|\leqslant K_{i}$, $i=1,...\infty$, где $K_{i}$, $i=1,...\infty$ - константы, и в котором определено расстояние $\rho (x,y)$ между любыми двумя точками $x,y$, как: $\rho (x,y)=\sup _{i}|x_{i}-y_{i}|$, $i=1,...\infty$, где $\sup$ - точная верхняя граница.

Для пространства ограниченных последовательностей приняты стандартные обозначения $m$ или $\ell _{\infty }$.

Пространство $m$ не является сепарабельным и является полным.

При определении нормы в $m$ как:

$\left\|x\right\|=\sup _{i}|x_{i}|$, $i=1,...\infty$

оно становится линейным нормированным пространством.

Примеры:

• бесконечные последовательности чисел вида $x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }$, таких, что $|x_{i}|\leqslant 1$, $i=1,...\infty$
• бесконечные последовательности чисел вида $x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }$, таких, что $|x_{i}|\leqslant {\frac {1}{i}}$, $i=1,...\infty$

См. также

• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Литература

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968. — 288 с. — 70 000 экз.
• Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — 29 000 экз.