Пространство состояний (теория управления)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.

Определение[править | править вики-текст]

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Линейные непрерывные системы[править | править вики-текст]

Структурная схема непрерывной линейной системы, описанной в виде переменных состояния

Для случая линейной системы с входами, выходами и переменными состояния описание имеет вид:

где

; ; ;
, , , , .
вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы
вектор выхода,
вектор управления,
матрица системы,
матрица управления,
матрица выхода,
матрица прямой связи.

Часто матрица является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системы[править | править вики-текст]

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.

Нелинейные системы[править | править вики-текст]

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

или в более компактной форме:

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

Линеаризация[править | править вики-текст]

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки .

В установившемся режиме для рабочей точки справедливо следующее выражение:

Вводя обозначения:

Разложение уравнения состояния в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

При взятии частных производных вектор-функции по вектору переменных состояний и вектору входных воздействий получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

Аналогично для функции выхода:

Учитывая , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

где

Примеры[править | править вики-текст]

Модель в пространстве состояний для маятника[править | править вики-текст]

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

где

  • — угол отклонения маятника.
  • — приведённая масса маятника
  • — ускорение свободного падения
  • — коэффициент трения в подшипнике подвеса
  • — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

где

  • — угол отклонения маятника
  • угловая скорость маятника
  • угловое ускорение маятника

Запись уравнений состояния в общем виде:

Линеаризация модели маятника[править | править вики-текст]

Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия имеет вид:

При отсутствии трения в подвесе (k = 0) получим уравнение движения математического маятника:

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]