Прямая Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Прямая Эйлера (красная) проходит через центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести и центр окружности девяти точек

Пряма́я Э́йлера может быть определена как прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.

Свойства[править | править код]

  • Прямая Эйлера проходит через:
    • Центроид треугольника
    • Ортоцентр треугольника
    • Точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности)
    • Центр окружности девяти точек
    • Точку Экзетера (Exeter point) X(22)[1]
    • Теорема Эйлера. Точка пересечения медиан M делит отрезок между центром описанной окружности O и ортоцентром H в отношении 1:2 ().
    • Прямая , проходящая через две точки Вектена и , пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника .
    • Уравнение прямой Эйлера в трилинейных координатах есть
Точка Шиффлера Sp, как точка пересечения прямых Эйлера трех треугольников BCI, CAI и ABI
  • Теорема Шиффлера утверждает следующее: Если в треугольнике ABC с центром вписанной окружности I рассмотреть три треугольника BCI, CAI и ABI, то их три (первые) прямые Эйлера, а также (первая) прямая Эйлера треугольника ABC (все четыре прямые) пересекутся в одной точке — точке Шиффлера Sp (см. рис. справа).

Вторая прямая Эйлера (прямая Эйлера — Нагеля)[править | править код]

[2]

Указанную выше прямую Эйлера иногда называют (первой) обобщенной прямой Эйлера. На этой прямой лежат 4 точки:

Вторую прямую Эйлера или прямую Эйлера-Нагеля определяет следующая Теорема Хузеля.

IS = SM, IG = 2•GS, MG = 2•IG[6].

Указанную прямую иногда называют второй прямой Эйлера или прямой Эйлера-Нагеля. На этой прямой лежат 4 точки:

Точка — Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) и прямые Эйлера[править | править код]

Рисунок к параграфу по адресу: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.jpg Если брать у треугольника ABC любую пару сторон, а третьей стороной брать первую прямую Эйлера треугольника ABC, то перебором трех вариантов можно построить три треугольника. Их первые прямые Эйлера образуют треугольник AgBgCg, конгруэнтный треугольнику ABC (равный ему, но повернутый на некоторый угол). Три пары отрезков, соединяюшие сходственные вершины этих двух конгруэнтных треугольников пересекутся в точке Pg, называемой перспектором Госсарда («the Gossard Perspector»).

Ссылка[править | править код]

Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

История[править | править код]

Теорема Эйлера была доказана в 1765 году Л. Эйлером. Тогда же он обнаружил и тот факт, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности — окружности Эйлера.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  1. Exeter point// https://en.wikipedia.org/wiki/Exeter_point.
  2. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
  3. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.jpg.
  4. http://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/d/d036.htm.
  5. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html.
  6. A. Bogomolny Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Проверено 5 мая 2012.