Прямая Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Прямая Эйлера (красная) проходит через центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести и центр окружности девяти точек

Пряма́я Э́йлера может быть определена как прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.

Свойства[править | править вики-текст]

x sin 2A sin ( BC ) + y sin 2B sin ( CA ) + z sin 2C sin ( CA ) = 0.

Прямая Эйлера и ортоцентрическая ось[править | править вики-текст]

На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.

Замечание[править | править вики-текст]

  • Фраза конца последнего абзаца «На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника» не понятна. Такие прямые совпадают со сторонами либо треугольника, либо ортотреугольника. Получается, что ортоцентрических осей несколько.
  • В интернете есть два толкования термина "ортоцентрическая ось":

1) Ортоцентрическая ось треугольника - радикальная ось описанной окружности и окружности девяти точек (Ефремовъ. Новая геометрія треугольника).

2) Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра (в разделе Треугольник в подразделе "Изоциркулярное преобразование").

  • Надо уточнить, какой из двух терминов здесь имеется в виду. Здесь имеется в виду второе толкование ортоцентрической оси. Если продолжить стороны чевианного треугольника точки - ортоцентра и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой ортоцентра. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра. Заметим, что треугольник с вершинами в основаниях чевиан, проведённых через данную точку, называется чевианным треугольником этой точки.
  • Суммируя все выше сказанное, имеем. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра. На этой прямой лежат три точки попарного пересечения каждой стороны ортотреугольника с соответствующей противоположной стороной исходного треугольника.

Четыре прямых Эйлера и «Точка Шиффлера» Sp[править | править вики-текст]

Точка Шиффлера Sp, как точка пересечения прямых Эйлера трех треугольников BCI, CAI и ABI

Теорема Шиффлера утверждает следующее: Если в треугольнике ABC с центром вписанной окружности I рассмотреть три треугольника BCI, CAI и ABI, то их три (первые) прямые Эйлера, а также (первая) прямая Эйлера треугольника ABC (все четыре прямые) пересекутся в одной точке — точке Шиффлера Sp (см. рис. справа).

Некоторые другие известные прямые[править | править вики-текст]

Вторая прямая Эйлера (прямая Эйлера-Нагеля)[править | править вики-текст]

[2]

Указанную выше прямую Эйлера иногда называют (первой) обобщенной прямой Эйлера. На этой прямой лежат 4 точки:

Вторую прямую Эйлера или прямую Эйлера-Нагеля определяет следующая Теорема Хузеля.

IS = SM, IG = 2•GS, MG = 2•IG[6].

Указанную прямую иногда называют второй прямой Эйлера или прямой Эйлера-Нагеля. На этой прямой лежат 4 точки:

Точка — Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) и прямые Эйлера[править | править вики-текст]

Рисунок к параграфу по адресу: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.jpg Если брать у треугольника ABC любую пару сторон, а третьей стороной брать первую прямую Эйлера треугольника ABC, то перебором трех вариантов можно построить три треугольника. Их первые прямые Эйлера образуют треугольник AgBgCg, конгруэнтный треугольнику ABC (равный ему, но повернутый на некоторый угол). Три пары отрезков, соединяюшие сходственные вершины этих двух конгруэнтных треугольников пересекутся в точке Pg, называемой 'перспектором Госсарда («the Gossard Perspector»).

Ссылка[править | править вики-текст]

Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

История[править | править вики-текст]

Теорема Эйлера была доказана в 1765 году Л. Эйлером. Тогда же он обнаружил и тот факт, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности — окружности Эйлера.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Exeter point// https://en.wikipedia.org/wiki/Exeter_point.
  2. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
  3. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.jpg.
  4. http://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/d/d036.htm.
  5. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html.
  6. A. Bogomolny Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Проверено 5 мая 2012.