Прямая сумма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Символ  \oplus \! означает взятие прямой суммы; это также символ Земли в астрономии и астрологии и символ операции исключающее «или».

Прямая сумма — производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве базовых чаще всего выступают векторные пространства или абелевы группы. Существует также обобщение данной конструкции для банаховых и гильбертовых пространств.

Прямая сумма двух объектов A и B обозначается A\oplus B, а прямая сумма произвольного множества объектов A_i — как \oplus_{i\in I} A_i. При этом произвольное A_i называется прямым слагаемым \oplus_{i\in I} A_i.

Прямая сумма конечного числа подпространств[править | править исходный текст]

Говорят, что линейное пространство X есть прямая сумма своих подпространств M_1,\dots,M_n:

X = M_1  \oplus\dots\oplus M_n,

если каждый вектор x\in X представляется в виде суммы

x=m_1+\dots+m_n, \quad m_i\in M_i, \quad (*)

и притом единственным образом.

Комментарий[править | править исходный текст]

Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается X = M_1 +\dots+ M_n). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*) для каждого вектора x\in X равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для x=0 в сумме (*) все слагаемые m_i=0).

Примеры[править | править исходный текст]

  • Трёхмерное линейное пространство является прямой суммой плоскости и любой прямой, не лежащей в этой плоскости, но пересекающей её, а также прямой суммой любых трёх попарно различных, не параллельных прямых. Трёхмерное линейное пространство является суммой двух несовпадающих плоскостей, но не является их прямой суммой, так как пересечение плоскостей дает прямую (нулевой вектор может быть представлен бесконечным числом способов: 0=m_1+m_2, где m_1 и m_2 — противоположные векторы на этой прямой).
  • Пространство многочленов степени не больше n (от фиксированного числа переменных) может быть представлено в виде прямой суммы M_0 \oplus M_1 \oplus \cdots \oplus M_n, где M_i — подпространство однородных многочленов степени i. Если в определении M_i убрать условие однородности, то сумма перестанет быть прямой.

Прямая сумма конечного числа пространств[править | править исходный текст]

Понятие прямой суммы X = M_1 \oplus\dots\oplus M_n распространяется на случай, когда M_1,\dots,M_n изначально не являются подпространствами какого-либо одного объемлющего линейного пространства. Чтобы избежать путаницы, прямая сумма в этом смысле называется внешней прямой суммой, тогда как прямая сумма подпространств называется внутренней прямой суммой.

Пусть M_1,\ldots M_n — векторные пространства над полем K. Определим множество-носитель X как декартово произведение множеств X = M_1 \times \dots \times M_n и введём на нём операции векторного пространства с помощью формул

(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) \quad x_i,y_i \in M_i \quad (*)
 \alpha (x_1,\ldots,x_n) = (\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n), \quad x_i \in M_i, \alpha\in K \quad (**)

Для каждого i существуют естественные вложения f:M_i\to X, такие что f(M_i) — это в точности множество тех векторов, все координаты которых в прямом произведении, кроме i-й координаты, равны нулю. Если отождествить пространства M_i с соответствующими подпространствами в X, каждый вектор x\in X однозначно представим в виде x=m_1+\dots+m_n, m_i\in M_i, следовательно, X является внутренней прямой суммой M_i.

Аналогичным образом определяется прямая сумма модулей. Для того, чтобы определить прямую сумму абелевых групп, достаточно на прямом произведении ввести покомпонентную операцию сложения. Таким образом, в определении прямой суммы векторных пространств достаточно заменить слово «векторное пространство» на слово «абелева группа» и отказаться от свойства (**).

Прямая сумма произвольного множества пространств[править | править исходный текст]

Только при рассмотрении прямой суммы бесконечного числа пространств проявляется её отличие от прямого произведения этих пространств. Пусть M_i — индексированное семейство векторных пространств над полем K, тогда их прямая сумма — это множество конечных формальных сумм

\sum\limits_{i\in I} x_i, \; x_i\in M_i

с покомпонентными операциями сложения и с операцией умножения на скаляр \alpha \in K:

\alpha(\sum_{i\in I} x_i)=\sum_{i\in I} \alpha x_i.

Очевидно, сумма двух конечных сумм — вновь конечная сумма, поэтому прямая сумма замкнута относительно операций векторного пространства. Для того, чтобы определить прямую сумму модулей, достаточно поле K заменить на некоторое кольцо.

Свойства прямой суммы[править | править исходный текст]

  • Если векторное пространство X конечномерно, то \dim X = \dim M_1+\ldots+\dim M_n. Аналогичные утверждения верны для ранга абелевой группы и длины модуля.
  • Объединение базисов линейных подпространств M_i\;(i=1,\dots,n) есть базис X.
  • Каждое векторное пространство над полем K изоморфно прямой сумме некоторого множества копий K. Также это верно для свободных модулей.
  • Операция прямой суммы двух пространств коммутативна и ассоциативна с точностью до изоморфизма.
  • Группа K-линейных гомоморфизмов из прямой суммы пространств изоморфна произведению групп гомоморфизмов из отдельных пространств:
\operatorname{Hom}_K\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatorname{Hom}_K\left(M_i,L\right).
В частности, пространство, двойственное к прямой сумме пространств изоморфно произведению пространств, двойственных к компонентам прямой суммы.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: ГИФМЛ, 1962.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — М.: Наука, 1971.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре, — М.: Наука, 1984.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.