Пятая проблема Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пятая проблема Гильберта — одна из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его докладе[1][2] на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Пятая проблема Гильберта относится к теории топологических групп преобразований и групп Ли. Для важных частных случаев решения были получены в 1933 и 1934 годах, окончательно решена в 1952 году.

Формулировка проблемы[править | править вики-текст]

Топологическая группа преобразований состоит из топологической группы , топологического пространства и непрерывного действия группы на , которое является непрерывным отображением

обладающим следующими двумя свойствами:

1) для всех , где  — единичный элемент из , и

2) для всех и для всех .

Топологическая группа является группой Ли, если  — вещественно-аналитическое многообразие, а умножение  — вещественно-аналитическое отображение. Тогда, по теореме о неявной функции отображение является вещественно-аналитическим. Если  — группа Ли,  — вещественно-аналитическое многообразие, а действие группы на  — вещественно-аналитическое, то имеем группу вещественно-аналитических преобразований.

Пусть  — локально евклидова топологическая группа. Тогда возникает вопрос о том, можно ли всегда снабдить вещественно-аналитической структурой такой, что умножение

будет вещественно-аналитическим? Этот вопрос, на который впоследствии был дан положительный ответ, и считается сегодня пятой проблемой Гильберта.[3]

Решение проблемы[править | править вики-текст]

Для компактных групп пятая проблема была решена фон Нейманом[4] в 1933 году. Для локально компактных коммутативных групп и некоторых других частных случаев проблему решил Понтрягин[3][5][6] в 1934 году. Эти доказательства были получены с помощью результата венгерского математика Хаара[hu][7] который построил на локально компактной топологической группе инвариантную меру[8].

Центральным пунктом общего доказательства оказался вопрос о существовании «малых» подгрупп в сколь угодно малой окрестности единицы (кроме самой единицы). Группы Ли таких подгрупп не имеют. Значительный вклад в решение внёс Глизон (Глисон)[9], доказавший, что каждая конечномерная локально компактная топологическая группа , которая не имеет малых подгрупп, является группой Ли.

Окончательное решение получении в 1952 году Монтгомери[en] и Циппин[en], которые доказали, что у локально связной конечномерной локально компактной топологической группы нет малых подгрупп.[10]. Поскольку всякая локально евклидова топологическая группа является локально связной, локально компактной и конечномерной, то из этих двух результатов вытекает следующее утверждение.

Теорема. Каждая локально евклидова группа является группой Ли.

Как впоследствии показал Глушков, данная теорема допускает обобщения[11].

Этот результат часто рассматривают как решение пятой проблемы Гильберта, но поставленный Гильбертом вопрос носил более широкий характер и касался групп преобразований для случая, когда многообразие не совпадает с [3][12].

Ответ на общий вопрос Гильберта в случае топологических непрерывных действий оказался отрицательным даже для тривиальной группы . Существуют топологические многообразия, не имеющие никакой гладкой структуры, а значит, не имеющие и вещественно-аналитической структуры[13].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Проверено 27 августа 2009. Архивировано 8 апреля 2012 года.
  2. Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 36—37. — 240 с. — 10 700 экз.
  3. 1 2 3 Пятая проблема Гильберта : Обзор
  4. Neumann J. von Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen// Ann. Math. — 1933. — 34. — C. 170—190
  5. Проблемы Гильберта и советская математика
  6. Pontryagin L. S. Topological groups. — Princeton: Univ. Press, 1939
  7. Der Maasbegriff in der Theorie der Kontinuerlichen Gruppen (Mértékfogalom a folytonos csoportok elméletében), 1933
  8. Понтрягин Л. С. Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908 г., Москва. — М.: Прима В, 1998. — 340 с.
  9. Gleason A. M. Groups without small subgroups// Ann. Math. — 1952. — 56. — C. 193—212
  10. Montgomery D., Zippin L. Small subgroups of finite-dimensional groups// Ann. Math. — 1952. — 56. — C. 213—241
  11. В. М. Глушков, Строение локально бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта, УМН, 1957, том 12, выпуск 2(74), 3-41
  12. Montgomery D. Topological transformation groups// Proc. Int. Congr. Math. — 1954. — Vol. III. — Groningen-Amsterdam. — 1956. — С. 185—188 (РЖМат, 1958, 8602)
  13. Kervaire M. A. A manifold which does not admit any differentiable structure// Comment. Math. Helv. — 1960. — 34. — C. 257—270

Литература[править | править вики-текст]