Пятиугольный многогранник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В геометрии пятиугольный многогранник — это правильный многогранник в пространстве размерности n, построенный из группы Коксетера Hn. Семейству дал имя Гарольд Коксетер, поскольку двумерным пятиугольным многогранником является пятиугольник. В зависимости от его символа Шлефли он может быть назван додекаэдральным ({5, 3n − 2}) или икосаэдральным ({3n − 2, 5}).

Члены семейства[править | править вики-текст]

Семейство начинается с одномерных многогранников (отрезок, n = 1) и завершается бесконечным замощением 4-мерной гиперболической сферы с n = 5.

Существует два типа пятиугольных многогранников. Один тип можно назвать додекаэдральные многогранники, а другой — икосаэдральные, в зависимости от его трёхмерных частей. Эти два типа двойственны друг другу.

Додекаэдральные многогранники[править | править вики-текст]

Полное семейство додекаэдральных многогранников состоит из:

  1. Отрезок, { }
  2. Пятиугольник, {5}
  3. Додекаэдр, {5, 3} (12 пятиугольных граней)
  4. Стодвадцатигранник, {5, 3, 3} (120 додекаэдральных ячеек)
  5. Стодвадцатиячейные соты порядка 3, {5, 3, 3, 3} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство

Фасеты любого додекаэдрального многогранника являются додекаэдральными пятиугольными многогранниками на единицу меньшей размерности. Их вершинными фигурами являются симплексы на единицу меньшей размерности.

Додекаэдральные пятиугольные многогранники
n Группа Коксетера Многоугольник Петри
(проекция)
Название
диаграмма Коксетера
Символ Шлефли
Фасеты Элементы
Вершины[en] Рёбра Грани Ячейки[en] 4-грани
1
[ ]
(порядок 2)
Cross graph 1.svg Отрезок
CDel node 1.png
{ }
2 вершины[en] 2
2
[5]
(порядок 10)
Regular polygon 5.svg Пятиугольник
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
{5}
5 рёбер 5 5
3
[5,3]
(порядок 120)
Dodecahedron t0 H3.png Додекаэдр
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5, 3}
12 пятиугольников
Regular polygon 5.svg
20 30 12
4
[5,3,3]
(порядок 14400)
120-cell graph H4.svg Стодвадцатиячейник
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5, 3, 3}
120 додекаэдров
Dodecahedron t0 H3.png
600 1200 720 120
5
[5,3,3,3]
(порядок ∞)
Стодвадцатиячейные соты
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5, 3, 3, 3}
Стодвадцатиячейников
120-cell graph H4.svg

Икосаэдральные многоганники[править | править вики-текст]

Полное семейство икосаэдральных пятиугольных многогранников состоит из:

  1. Отрезок, { }
  2. Пятиугольник, {5}
  3. Икосаэдр, {3, 5} (20 треугольных граней)
  4. Шестисотячейник, {3, 3, 5} (120 тетраэдральных ячеек)
  5. Пятиячейные соты пятого порядка[en], {3, 3, 3, 5} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство (∞ пятиячейных фасет)

Фасеты любого икосаэдрального пятиугольного многогранника являются симплексами на единицу меньшей размерности. Вершинными фигурами многогранников являются икосаэдральные пятиугольные многогранники на единицу меньшей размерности.

Икосаэдральные пятиугольные многогранники
n Группа     Коксетера Многоугольник Петри
(проекция)
Название
диаграмма Коксетера
Символ Шлефли
Фасеты Элементы
Вершины[en] Рёбра Грани Ячейки[en] 4-грани
1
[ ]
(порядок 2)
Cross graph 1.svg Отрезок
CDel node 1.png
{ }
2 вершины[en] 2
2
[5]
(порядок 10)
Regular polygon 5.svg Пятиугольник
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
{5}
5 рёбер 5 5
3
[5,3]
(порядок 120)
Icosahedron t0 H3.png Икосаэдр
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{3, 5}
20 правильных треугольниковs
Regular polygon 3.svg
12 30 20
4
[5,3,3]
(порядок 14400)
600-cell graph H4.svg Шестисотячейник
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{3, 3, 5}
600 тетраэдров
3-simplex t0.svg
120 720 1200 600
5
[5,3,3,3]
(порядок ∞)
Пятиячейные соты пятого порядка[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{3, 3, 3, 5}
Пятиячейников
4-simplex t0.svg

Связанные звёздчатые многогранники и соты[править | править вики-текст]

От пятиугольных многогранников могут быть образованы звёзчатые формы с получением новых звёздчатых правильных многогранников:

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
  • H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes[en]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 292-293. — ISBN 0-486-61480-8.