Пятиугольный паркет

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
15 типов пятиугольного паркета

Пятиугольный паркет — в геометрии: замощение, составленное из выпуклых пятиугольников. Замощение из правильных пятиугольников в евклидовом пространстве невозможно, поскольку общий угол правильного пятиугольника равен 108° и не делит ни 180°, ни 360°. Однако, ими можно замостить[en] гиперболическую плоскость и сферу.

Для плоскости же задача о полном описании всех возможных замощений неправильными пятиугольниками (описания всех видов пятиугольников, для которых возможно такое замощение) является очень сложной и исследования по ней ведутся больше века.

Замощение плоскости одной выпуклой плиткой[править | править код]

Количество паркетов из одной выпуклой плитки[править | править код]

Пятиугольные паркеты вообще[править | править код]

Предполагается, что существует всего 15 классов пятиугольников, бесконечные паркеты из которых могут замостить плоскость. Поиск всех таких классов продолжался до 2015 года, а 1 мая 2017 года Майкл Рао предъявил доказательство того, что других таких пятиугольников не существует.[1][2]. По состоянию на декабрь 2017 года компьютерная программа, используемая и специально написанная для доказательства теоремы, независимо воспроизведена и проверена Томасом Хейлзом, профессором математики Питсбургского университета[3][4], а остальная часть статьи всё ещё находится на рецензировании.

Паркеты типа «ребро к ребру»[править | править код]

Более простой задачей является отыскание всех паркетов, составляющих замощение «ребро к ребру», то есть когда ни одна сторона ни одной плитки не совпадает сразу с двумя сторонами двух других (или, другими словами, когда никакая из вершин многоугольников замощения не лежит посреди некоторой стороны другого многоугольника).

Всего существует 8 пятиугольных паркетов «ребро к ребру» из выпуклых плиток. Тот факт, что остальных таких паркетов, кроме уже найденных, не существует, был доказан Ольгой Багиной на Омском алгебраическом семинаре в 2011 году.[5]. Доказательство было опубликовано в 2017 году.[6]

Независимо от Багиной доказательство получил также Шугимото (Sugimoto) в 2012 году.[7]

Известные типы паркетов[править | править код]

Ни один из пятнадцати известных классов доступных для замощения пятиугольников не накрывается полностью объединением других. Тем не менее, некоторые пары классов могут пересекаться. Кроме того, в некоторых классах есть многоугольники, для которых кроме стандартной схемы замощения плоскости плитками этого класса существуют ещё и альтернативные способы замощения.

Ниже, приводя классификацию плиток, мы будем обозначать через A,B,C,D,E углы пятиугольника, а через a, b, c, d, e длины его сторон, где |EA|=a, |AB|=b, |BC|=c, |CD|=d, |DE|=e. Многие из этих классов имеют степени свободы, выражающиеся уравнениями для углов и сторон. В частности, классы 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 допускают параметры, при которых пятиугольники становятся невыпуклыми.

15 одноплиточных пятиугольных паркетов
1 2 3 4 5
Prototile p5-type1.png
B+C=180°
A+D+E=360°
Prototile p5-type2.png
c=e
B+D=180°
Prototile p5-type3.png
a = b, d = c + e
A = C = D = 120°
Prototile p5-type4.png
b = c, d = e
B = D = 90°
Prototile p5-type5.png
a = b, d = e
A = 60°, D = 120°
6 7 8 9 10
Prototile p5-type6.png
a = d = e, b = c
B + D = 180°, 2B = E
Prototile p5-type7.png
b = c = d = e
B + 2E = 2C + D = 360°
Prototile p5-type8.png
b = c = d = e
2B + C = D + 2E = 360°
Prototile p5-type9.png
b = c = d = e
2A + C = D + 2E = 360°
Prototile p5-type10.png
a = b = c + e
A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°
11 12 13 14 15
Prototile p5-type11.png
2a + c = d = e
A = 90°, 2B + C = 360°
C + E = 180°
Prototile p5-type12.png
2a = d = c + e
A = 90°, 2B + C = 360°
C + E = 180°
Prototile p5-type13.png
d = 2a = 2e
B = E = 90°, 2A + D = 360°
Prototile p5-type14.png
2a = 2c = d = e
A = 90°, B ≈ 145,34°, C ≈ 69,32°,
D ≈ 124,66°, E ≈ 110,68°
(2B + C = 360°, C + E = 180°).
Prototile p5-type15.png
a = c = e, b = 2a
A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90°

Периодические замощения могут быть характеризованы своей группой симметрии[en], например, p2 (2222) для замощений, содержащих 4 точки вращения (с учётом параллельного переноса) порядка 2 (изображение переходит в себя при повороте на 360/2=180°). Это используется далее в иллюстрациях, где одинаковыми цветами показаны, плитки мозаики, переходящие друг в друга при соответствующем повороте.

Примитивной ячейкой будем называть наименьшую из плиток, которая при копировании и переносе образует всю данную мозаику.

Типы 1,2,3,4,5 (Рейнхардт, 1918)[править | править код]

Первые пять типов замощений описал в 1918 году Карл Рейнхардт[en].[8] Все эти пять замощений были изоэдральными, то есть каждую из плиток можно было перевести в каждую другую обычным поворотом и переносом, без применения зеркального отражения.

Грюнбаум и Шефард показали, что существует ровно 24 типа различных изоэдральных замощений.[9] Все эти 24 типа принаделжали к классам, описанным Рейнхардтом, но иногда требовали добавочных условий. Существует по два изоэдральных замощения для каждого набора из типа 2, и по одному для каждого из четырёх остальных. 15 из 18 остальных типов представляют собой специальные случаи замощения типа 1. 9 из 24 типов относятся к паркетам «ребро к ребру».[10]

Группы симметрий рядом с картинками ниже приведены в орбифолдной нотации[en].

Для плиток первого типа существует множество способов замощения плоскости ими. Ниже приведены пять топологически разных примеров замощения:

Замощение плитками типа 1
p2 (2222) cmm (2*22) cm (*×) pmg (22*) pgg (22×) p2 (2222) cmm (2*22)
p1 (°) p2 (2222) p2 (2222)
P5-type1.png P5-type1 p4g.png P5-type1 pm.png P5-type1 p2.png P5-type1 pgg-chiral coloring.png P5-type1 1u.png P5-type1 1u 90.png
Примитивная ячейка из 2 плиток Примитивная ячейка из 4 плиток
Lattice p5-type1.png
B + C = 180°
A + D + E = 360°
Lattice p5-type1 cm.png
a = c, d = e
A + B = 180°, A + D + E = 360°
Lattice p5-type1 pmg.png
a = c
A + B = 180°, C + D + E = 360°
Lattice-p5-type1 pgg.png
a = e
B + C = 180°, A + D + E = 360°
Lattice p5-type1 1u.png
d = c + e
A = 90°, C + D = 180°
2B + C = 360°
B + E = 270°
Тип 2
pgg (22×)
p2 (2222)
P5-type2-chiral coloring.png P5-type2b p2.png
Примитивная ячейка из 4 плиток
Lattice p5-type2.png
c = e
B + D = 180°
Lattice p5-type2b.png
c = e, d = b
B + D = 180°
Тип 3 Type 4 Type 5
p3 (333) p31m (3*3) p4 (442) p4g (4*2) p6 (632)
P5-type3.png P5-type3 p3m1.png P5-type4.png P5-type4 p4g.png P5-type5.png P5-type5 p6m.png P5-type5 rice p6.png
Pentagonal tiling type 4 animation.gif Pentagonal tiling type 5 animation.gif
Примитивная ячейка из 3 плиток Примитивная ячейка из 4 плиток Примитивная ячейка из 6 плиток Примитивная ячейка из 18 плиток
Lattice p5-type3.png
a = b, d = c + e
A = C = D = 120°
Lattice p5-type4.png
b = c, d = e
B = D = 90°
Lattice p5-type5.png
a = b, d = e
A = 60°, D = 120°
Lattice p5-type5 rice p6.png
a = b = c, d = e
A = 60°, B = 120°, C = 90°
D = 120°, E = 150°

Типы 6,7,8 (Кершнер, 1968)[править | править код]

Кершнер в 1968 году описал ещё три типа плиток. Он утверждал, что, кроме найденных теперь восьми типов, других не существует, но оказался не прав.

В типах 7 и 8 впервые появляются хиральные плитки (то есть для полного описания орбит симметрии впервые приходится использовать не только вращения, но и отражения). На картинке ниже пары хиральных плиток обозначены парами цветов (жёлтый, зелёный) и (синий, бледно-синий).

Все представленные ниже примеры 2-изоэдральны.

Type 6 Type 6
(Also type 5)
Type 7 Type 8
p2 (2222) pgg (22×) pgg (22×)
p2 (2222) p2 (2222)
P5-type6.png P5-type6 parallel.png P5-type7-chiral coloring.png P5-type8-chiral coloring.png
Pentagonal tiling type 6 animation.gif Pentagonal tiling type 7 animation.gif Pentagonal tiling type 8 animation.gif
Prototile p5-type6.png
a = d = e, b = c
B + D = 180°, 2B = E
Prototile p5-type6 parallel.png
a = d = e, b = c
B = 60°, A = C = D = E = 120°
Prototile p5-type7.png
b = c = d = e
B + 2E = 2C + D = 360°
Prototile p5-type8.png
b = c = d = e
2B + C = D + 2E = 360°
Lattice p5-type6.png
Примитивная ячейка из 4 плиток
Lattice p5-type6 parallel.png
Примитивная ячейка из 4 плиток
Lattice p5-type7.png
Примитивная ячейка из 8 плиток
Lattice p5-type8.png
Примитивная ячейка из 8 плиток

Тип 10 (Джеймс, 1975)[править | править код]

Изучив результаты Кершнера в колонке Мартина Гарднера «Математические игры» журнала Scientific American, Ричард Джеймс нашёл ещё один тип пятиугольников, который сейчас именуется типом 10.

Представленные здесь примеры 3-изоэдральны.

Type 10
p2 (2222) cmm (2*22)
P5-type10.png P5-type10 cmm.png
Pentagonal tiling type 10 animation.gif
Prototile p5-type10.png
a=b=c+e
A=90, B+E=180°, B+2C=360°
Prototile p5-type10 cmm.png
a=b=2c=2e
A=B=E=90°, C=D=135°
Lattice p5-type10.png
Примитивная ячейка из 6 плиток

Типы 9, 11, 12, 13 (Райс, 1977)[править | править код]

Математик-любитель Марджори Райс в 1976 и 1977 году нашла ещё четыре типа плиток, подходящих для замощения.

Все четыре типа паркетов 2-изоэдральны. На картинке ниже пары хиральных плиток обозначены парами цветов (жёлтый, зелёный) и (синий, бледно-синий).

Из всех четырёх типов только тип 9 даёт замощение типа «ребро к ребру».

Примитивные ячейки везде содержат по 8 плиток.

Type 9 Type 11 Type 12 Type 13
pgg (22×)
p2 (2222)
P5-type9-chiral coloring.png P5-type11 chiral coloring.png P5-type12-chiral coloring.png P5-type13-chiral coloring.png
Pentagonal tiling type 9 animation.gif Pentagonal tiling type 11 animation.gif Pentagonal tiling type 12 animation.gif Pentagonal tiling type 13 animation.gif
Prototile p5-type9.png
b=c=d=e
2A+C=D+2E=360°
Prototile p5-type11.png
2a+c=d=e
A=90°, 2B+C=360°
C+E=180°
Prototile p5-type12.png
2a=d=c+e
A=90°, 2B+C=360°
C+E=180°
Prototile p5-type13.png
d=2a=2e
B=E=90°, 2A+D=360°
Lattice p5-type9.png
Примитивная ячейка из 8 плиток
Lattice p5-type11.png
Примитивная ячейка из 8 плиток
Lattice p5-type12.png
Примитивная ячейка из 8 плиток
Lattice p5-type13.png
Примитивная ячейка из 8 плиток

Тип 14 (Стейн, 1985)[править | править код]

Четырнадцатую мозаику нашёл Рольф Стейн в 1985 году. Найденное им замощение 3-изоэдрально и не относится к типу «ребро к ребру».

Более того, его замощение состоит из строго фиксированных плиток — никакой вариабельность через уравнения на углы, как в предыдущих типах, никаких степеней свободы здесь нет. Вот некоторые параметры этой фиксированной плитки:

Из этих значений можно легко вывести остальные.

Примитивная ячейка такого замощения содержит шесть плиток.

Type 14
pgg (22×)
P5-type14.png Prototile p5-type14.png
2a=2c=d=e
A=90°, B≈145.34°, C≈69.32°,
D≈124.66°, E≈110.68°
(2B+C=360°, C+E=180°).
Lattice p5-type14.png
Примитивная ячейка из 6 плиток

Тип 15 (Манн, Маклауд, фон Дюрей, 2015)[править | править код]

Исследователи из университета Вашингтона Ботелл, математики Кейси Манн, Джениффер Маклауд и Дэвид фон Дюрей в 2015 году, используя компьютерные вычисления, нашли пятнадцатый тип паркета. Их работа была опубликована в октябре 2015 года.[11]

Эта мозаика не относится к типу «ребро к ребру». Она 3-изоэдральна (это обеспечивается двумя симметриями — поворотом на 180° относительно центра стыка белых плиток одной элементарной ячейки и зеркальным отражением относительно центра стыка белых плиток из двух разных элементарных ячеек). В мозаике есть хиральные плитки — на рисунке они обозначены парами цветов (жёлтый, белый), (синий, бледно-синий), (красный, розовый). Примитивная ячейка содержит 12 плиток.

Так же, как паркет типа 14, этот паркет может быть построен из одной единственной плитки, никаких степеней свободы для изменения углов и длин сторон нет.

Type 15
P5-type15-chiral coloring.png
(Larger image)
Prototile p5-type15.png
a=c=e, b=2a, d=2 + 3a
A=150°, B=60°, C=135°
D=105°, E=90°
Lattice p5-type15.png
Примитивная ячейка из 12 плиток

Непериодические паркеты[править | править код]

Непериодические паркеты из пятиугольных плиток также существуют. Они имеют радиальную симметрию, то есть совпадют с собой после поворота на некоторый угол относительно центра.

Ниже мы будем говорить о замощении с радиальной симметрией порядка если оно совпадает с собой после поворота на относительно центральной точки.

В 2016 году Бернард Клаасен показал, что для любого существует непериодическое пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка .[12][13] Его метод построения заключался в том, чтобы заполнять плоскость парами пятиугольноков, состыкованных по одной стороне таким образом, что он образуют шестиугольник. Если один из углов пятиугольника равен и длины сторон подобраны правильным образом, то, начиная от тривиально состыкованных вокруг одной точки таких пятиугольников, можно предсказуемо заполнять окружающие их слои один за другим.

Pentagonal tiling with 5-fold rotational symmetry.png
Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 5
Непериодический пятиугольный паркет.png
Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 6
Pentagonal tiling with 7-fold rotational symmetry.png
Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 7
Nonperiodic monohedral pentagons tilings.png
Пример замощения Клаасена для

Паркеты, двойственные однородным[править | править код]

Существует три типа паркетов, двойственных однородным. Все эти паркеты относятся к типу «ребро к ребру». Симметрии в двойственных паркетах совпадают с симметриями в соответствующих однородных. Поскольку однородные паркеты изогональны, до двойственные им — изоэдральны.

cmm (2*22) p4g (4*2) p6 (632)
1-uniform 8 dual color1.png 1 uniform 9 dual color1.png 1-uniform 10 dual color1.png
Призматический пятиугольный паркет
Экземпляр типа 1[8]
Каирская пятиугольная мозаика
Экземпляр типа 4[8][14]
Цветочная пятиугольная мозаика
Экземпляр типов 1, 2 и 5
33344 tiling face purple.png
120°, 120°, 120°, 90°, 90°
V3.3.3.4.4
33434 tiling face green.png
120°, 120°, 90°, 120°, 90°
V3.3.4.3.4
33336 tiling face yellow.png
120°, 120°, 120°, 120°, 60°
V3.3.3.3.6

Замощение плоскости несколькими плитками[править | править код]

Паркеты, двойственные k-однородным[править | править код]

Другие k-однородные паркеты, все вершины которых имеют по пять исходящих рёбер, также имеют двойственные пятиугольные паркеты, но состоящие из нескольких разных плиток. Однако никаких других плиток кроме трёх, фигурирующих в обычных паркетах, двойственных однородным, в них не появляется.

Паркеты, двойственные k-однородному, являются k-изоэдральными.

Ниже для примера приведены пятиугольные паркеты, двойственные 2,3,4 и 5-однородным, а также отдельно (ниже каждого) — плитки, составляющие их.

2-изоэдральные 3-изоэдральные
p4g (4*2) pgg (22×) p2 (2222) p6 (*632)
2-uniform 16 dual color2.png 2-uniform 17 dual color2.png 3-uniform 53 dual color3.png 3-uniform 55 dual color3.png 3-uniform 56 dual color3.png
33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33336 tiling face yellow.png
4-изоэдральные 5-изоэдральные
pgg (22×) p2 (2222) p6m (*632)
4-uniform 142 dual color4.png 4-uniform 144 dual color4.png 4-uniform 143 dual color4.png 5-uniform 303 dual color5.png 5-uniform 314 dual color5.png
33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33336 tiling face yellow.png
5-изоэдральные
pgg (22×) p2 (2222)
5-uniform 309 dual color5.png 5-uniform 315 dual color5.png 5-uniform 311 dual color5.png 5-uniform 310 dual color5.png 5-uniform 312 dual color5.png
33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33344 tiling face purple.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png 33434 tiling face green.png

Пятиугольно-шестиугольные мозаики[править | править код]

Пятиугольные подразбиения шестиугольников

Пятиугольники находятся в интересных соотношениях с шестиугольниками. Некоторые виды шестиугольников могут быть разбиты на пятиугольники — в частности, отдельный шестиугольник может быть разбит на:

  • 2 плитки типа 1
  • 3 плитки типа 3
  • 4 плитки типа 4
  • 9 плиток типа 3

Вследствие такого разнообразия возможностей, плоскость может быть разбита на пятиугольники бесконечным числом способов, генерируемых из подразбиения шестиугольников регулярной мозаики.

Pent-Hex-Type1-2.png
Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 1) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников (каждый из которых разбивается на 2 пятиугольника)
Pent-Hex-Type3-3.png
Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 3) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников (каждый из которых разбивается на 3 пятиугольника)
Pent-Hex-Type4-4.png
Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 4) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников (каждый из которых разбивается на 4 пятиугольника)
Pent-Hex-Type3-9.png
Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 3) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников двух разных размеров (каждый из которых разбивается либо на 3, либо на 9 плиток)

Замощение невыпуклыми пятиугольниками[править | править код]

Схема Гервера для разбиения на невыпуклые пятиугольники
Периодическое замощение фигурами «Сфинкс»

Замощения плоскости невыпуклыми многоугольниками также существуют. Один из таких примеров — мозаика "Сфинкс", непериодическое замощение через наращивание размера делящейся плитки. Для фигуры «Сфинкс» существует также и периодическое замощение через сборку их пар в параллелограммы и тривиальное замощение плоскости такими параллелограммами.

В 2003 году Гервер показал, как правильный треугольник можно разбить на три невыпуклых многоугольника. Пользуясь той же схемой, можно бесконечным числом способов разбить любой правильный -угольник на невыпуклых пятиугольников. В частности, этот способ подходит для 3, 4 и 6-угольников, через подразбиение регулярных мозаик которых можно таким образом генерировать ещё один бесконечный класс разбиений плоскости на невыпуклые многоугольники.

Примечания[править | править код]

  1. Коняев, Андрей. Французский математик решил задачу о замощении плоскости, N+1 (12 июля 2017). Проверено 4 января 2018.
  2. Препринт работы Рао
  3. Код программы Хейлза
  4. Публикация о работе Хейлза на сайте Quanta Magazine[en]
  5. Омский алгебраический семинар
  6. О. Г. Багина. О свойствах мозаичных пятиугольников с парой равных смежных сторон (рус.) // Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН Сибирские электронные математические известия. — Электронный журнал, 2017. — 8 декабрь (т. 14). — С. 1380—1412. — DOI:10.17377/semi.2017.14.119.
  7. Sugimoto, Teruhisa (2012), "Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I.", Forma Т. 27 (1): 93–103, <http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/2701/27010093.html> 
  8. 1 2 3 Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone, Dissertation Frankfurt am Main, Borna-Leipzig, Druck von Robert Noske,, сс. 77–81, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN316479497&DMDID=DMDLOG_0013&LOGID=LOG_0013&PHYSID=PHYS_0083>  (замечание: в работе присутствует как минимум одна ошибка — сумма углов γ+δ в первых двух типах плиток на странице 77 должна быть равна π, а не 2π)
  9. Grünbaum, Shephard, 1978.
  10. Schattschneider, 1978.
  11. Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer & David Von Derau (2015), "Convex pentagons that admit $i$-block transitive tilings", arΧiv:1510.01186 [math.MG] 
  12. Klaassen, Bernhard (2016). «Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons». Elemente der Mathematik 71 (4): 137–144. DOI:10.4171/em/310. ISSN 0013-6018.
  13. Klaassen, Bernhard (2016), "Rotationally Symmetric Tilings with Convex Pentagons and Hexagons", arΧiv:1509.06297 [math.MG] 
  14. Cairo pentagonal tiling generated by a pentagon type 4 query and by a pentagon type 2 tiling query on wolframalpha.com (caution: the wolfram definition of pentagon type 2 tiling does not correspond with type 2 defined by Reinhardt in 1918)

Ссылки[править | править код]