Пятиячейник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Проекция вращающегося пятиячейника в трёхмерное пространство

Пятияче́йник[1], или пентахор (от др.-греч. πέντε — «пять» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[2]. Символ Шлефли пятиячейника — {3,3,3}.

Двойствен сам себе. В отличие от пяти других правильных многоячейников, не имеет центральной симметрии.

Описание[править | править вики-текст]

Ограничен 5 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Любые две ячейки — смежные; угол между ними равен \arccos \, \frac{1}{4} \approx 75,52^\circ.

Его 10 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 10 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 5 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. Любые 2 вершины соединены ребром, любые 3 вершины принадлежат одной грани, любые 4 вершины принадлежат одной ячейке.

Пятиячейник можно рассматривать как правильную четырёхмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием.

В координатах[править | править вики-текст]

Первый способ расположения[править | править вики-текст]

Пятиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты (1;1;1;0), (1;-1;-1;0), (-1;1;-1;0), (-1;-1;1;0), (0;0;0;\sqrt5).

При этом точка \left(0;0;0;\frac{\sqrt5}{5}\right) будет центром вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Второй способ расположения[править | править вики-текст]

В пятимерном пространстве возможно разместить пятиячейник так, чтобы все его вершины имели целые координаты: (1;0;0;0;0), (0;1;0;0;0), (0;0;1;0;0), (0;0;0;1;0), (0;0;0;0;1).

Центром вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер при этом будет точка \left(\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5}\right).

Ортогональные проекции на плоскость[править | править вики-текст]

4-simplex t0.svg
4-simplex t0 A3.svg
4-simplex t0 A2.svg


Метрические характеристики[править | править вики-текст]

Если пятиячейник имеет ребро длины a, то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

V_4 = \frac{\sqrt5}{96}\;a^4\ \approx 0,0232924a^4,
S_3 = \frac{5\sqrt2}{12}\;a^3 \approx 0,5892557a^3.

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

R = \frac{\sqrt{10}}{5}\;a \approx 0,6324555a,

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

\rho_1 = \frac{\sqrt{15}}{10}\;a \approx 0,3872983a,

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

\rho_2 = \frac{\sqrt{15}}{15}\;a \approx 0,2581989a,

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

r = \frac{\sqrt{10}}{20}\;a \approx 0,1581139a.

Неправильные пятиячейники[править | править вики-текст]

Иногда словом «пятиячейник» может обозначаться не только правильный, но и произвольный четырёхмерный симплекс.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]