Равенство смешанных производных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных. Само утверждение о равенстве смешанных производных в различных источниках упоминается как теорема Шварца, а также как теорема Клеро.

Теорема[править | править вики-текст]

Определение смешанной производной[править | править вики-текст]

Пусть дана достаточно гладкая (скалярная) функция многих переменных:

Мы можем взять частную производную этой функции по одному из аргументов , считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую функцию:

Эта новая функция тоже зависит от остальных аргументов как от параметров. То есть численное значение в общем случае зависит от тех же переменных , что и оригинальная функция :

Если функция окажется достаточно гладкой, то мы можем и её продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому или по другому аргументу :

Если , то выражение в правой части равенства (4) называется смешанной производной.

Основа теоремы[править | править вики-текст]

Для достаточно гладкой функции многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

Теорема является базовой в теории функций многих переменных и широко применяется в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии.

Необходимая степень гладкости[править | править вики-текст]

Уточнять необходимую степень гладкости следует поэтапно.

  • 1. Справедливость для аналитической функции (теорема).
  • 2. Справедливость для более широкого класса функций, имеющих в окрестности точки только такие непрерывные производные:
  • 3. Поскольку для фиксированных индексов все производные из перечня (6) берутся при условии, что любой третий аргумент является константой, то функция (а также все производные (6)) может быть разрывной в отношении третьих аргументов. Например, составим функцию из двух слагаемых:

где первое слагаемое является гладкой функцией двух аргументов, а второе слагаемое разрывной во всех точках.

Дальнейшее уточнение гладкости функции нужно делать в ходе доказательства теоремы, оно будет сформулировано в самом конце.

Доказательство теоремы[править | править вики-текст]

Как указано выше, для доказательства теоремы можно не рассматривать зависимость функции от третьих аргументов. Поэтому для простоты записи изменим обозначения на , то есть будем рассматривать такую функцию двух переменных:

Также для упрощения формул будем обозначать частные производные индексами внизу функции:

Пусть в точке существует смешанная производная:

Предположим, что смешанная производная существует в точке , а также существует первая производная вдоль (горизонтальной) прямой .

Далее, разность производных равна производной от разности, поэтому превращаем формулу (9) в:

Это преобразование никаких дополнительных условий не накладывает, поскольку разность дифференцируемых функций всегда является функцией дифференцируемой.

Далее, разность в квадратных скобках формулы (10) можно записать в виде определённого интеграла от производной:

Нужно, чтобы существовала частная производная вдоль прямой .

Теперь частную производную по игрек в формуле (11) запишем согласно определению производной как предела:

Как видно, надо, чтобы частная производная существовала не только на прямой , но в некоторой двухмерной окрестности точки .

Далее, разность интегралов равна интегралу от разности, причём под знак интеграла можно внести постоянный множитель :

Это преобразование также не накладывает дополнительных условий, поскольку разность интегрируемых функций является функцией интегрируемой.

По теореме Лагранжа, подынтегральное выражение в формуле (13) равно производной в средней точке:

Средняя точка является функцией:

,

значения которой лежат в интервале (если, например, )

Для справедливости (14) нужно существование смешанной производной в некоторой двухмерной окрестности точки .

Для окончания доказательства надо принять, что смешанная производная непрерывна в точке как функция двух переменных. Значение этой производной в близкой точке равно с точностью до бесконечно малого слагаемого значению производной в точке :

Смешанная производная существует в двухмерной окрестности точки и непрерывна в этой точке как функция двух переменных.

Подставим (14) и (15) в (13):

Заметим, что формула (16) эквивалентна формуле (13) (хотя и в других обозначениях), а потому интеграл и обе границы существуют. Поскольку подынтегральная функция в (16) интегрируема, а первое слагаемое является константой по переменной интегрирования , то второе слагаемое тоже оказывается интегрируемым, и мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых легко берётся как интеграл от константы:

После подстановки (17) в (16) мы можем вынести постоянное слагаемое сначала за пределы первой границы, а затем за пределы другой границы:

Покажем, что второе слагаемое в последнем выражении формулы (18) равно нулю. Возьмём произвольное положительное число . Непрерывность смешанной производной в точке означает, что существует такое положительное число , что для каждой точки внутри квадрата справедливо неравенство:

Если мы возьмём положительные числа , то интеграл в последнем слагаемом формулы (18) оценивается сверху:

Обозначим это слагаемое

Аналогично (если взять ), имеем оценку снизу:

Поскольку положительное число может быть сколь угодно малым, то с необходимостью следует . Теорема доказана.

Уточнение гладкости функции[править | править вики-текст]

Как видно в ходе доказательства, от функции требуется существование одной смешанной производной (например, ) в точке, а также существование второй смешанной производной в двумерной окрестности точки и её непрерывность в этой точке. Из этого условия также следует существование производной вдоль отрезка прямой и существование производной в двумерной окрестности точки.

Кроме того, существование в точке следует из двух фактов: (а) существует производная вдоль отрезка прямой , проходящей через точку , (б) смешанная производная существует и непрерывна в этой точке.

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим функцию

где функция Дирихле равна нулю в рациональных точках и единице в иррациональных. Функция (23) определена на всей плоскости; непрерывна (как функция двух переменных) вдоль прямой и разрывна во всех других точках плоскости.

Везде существует непрерывная частная производная:

а также одна из смешанных производных:

Частная производная по игрек существует лишь в точках прямой :

Также в этих же точках прямой существует вторая смешанная производная:

Как видим, для точек прямой условия теоремы выполняются, и обе смешанные производные равны.

Контрпример[править | править вики-текст]

Рассмотрим функцию двух переменных

где буквами обозначены некоторые ненулевые параметры. Формула (28) задаёт непрерывную функцию всюду на плоскости за исключением начала координат . Мы можем доопределить функцию в начале координат

Согласно этим определениям функция будет непрерывной также и в начале координат, что можно видеть, представив формулу (28) в полярной системе координат (и направляя ):

Покажем, что для этой доопределённой функции смешанные производные в начале координат существуют, но не равны между собой.

Сначала вычислим первые производные . Как промежуточный результат, заметим, что функция «куб модуля» дважды дифференцируема, и её первая и вторая производные вычисляются по формулам:

Теперь, учитывая (28) и (31), запишем первые производные функции в точке плоскости, отличной от начала координат ():

Можно также вычислить первые производные в начале координат, исходя из определения производной:

Аналогично

Перейдём теперь к вычислению смешанных производных в начале координат:

Аналогичное вычисление даёт:

Легко видеть, что формулы (34) и (35) дают разные результаты, если:

Причина этого неравенства в том, что не выполняется условие теоремы — обе смешанные производные (хотя существуют везде) являются разрывными в начале координат.

Можно также рассмотреть функцию

Упрощенное доказательство для аналитических функций[править | править вики-текст]

Аналитическая функция двух переменных (по крайней мере локально) разлагается в сходящийся степенной ряд:

Как известно, степенной ряд можно дифференцировать почленно в пределах его радиуса сходимости. Таким образом, найдём первые производные:

Повторное дифференцирование (38) и (39) даёт одну и ту же формулу для обеих смешанных производных:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]