Равнобедренный треугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Терминология[править | править вики-текст]

Если треугольник имеет две равные стороны, то эти стороны называются - ногами, а третья сторона - основанием. Угол образованный ногами называется вершинным углом, а углы у которых одной из сторон является основание называются углами при основании.[1]

Эвклид определил равнобедренный треугольник как треугольник, который имеет две равные стороны, но современная трактовка[2] предпочитает определение, где треугольник имеет хотя бы две равные стороны, определяя таким образом равносторонний треугольник как частный случай равнобедренного. В случае равностороннего треугольника, где все стороны равны, любая сторона может быть названа основанием, если нужно, а понятие ног не используется.

Симметрия[править | править вики-текст]

Треугольник с двумя абсолютно равными сторонами имеет одну ось симметрии, которая проходит через вершинный угол и середину основания. Эта ось симметрии совпадает с биссектрисой вершинного угла, медианой проведённой к основанию, высотой проведённой из вершинного угла и с серединным перпендикуляром.[3]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
  • Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, h — высота равнобедренного треугольника

Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:

  • r=\frac b2 \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}
  • r=\frac{bh}{b+\sqrt{4h^2+b^2}}
  • r=\frac{h}{1+\frac{a}{\sqrt{a^2-h^2}}}
  • r=\frac b2 \operatorname{tg} \left (\frac{\alpha}{2} \right )
  • r=a\cdot \cos(\alpha)\cdot \operatorname{tg} \left (\frac{\alpha}{2} \right )

Углы могут быть выражены следующими способами:

y = \cos\alpha =\frac {b}{c}, \arccos y = x

Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами:

Площадь треугольника находится следующими способами:

 S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac {b^2}{4 \tan \frac \beta 2};
 S = \frac 1 2 b \sqrt {\left( a + \frac 1 2 b \right) \left( a - \frac 1 2 b \right)} .
  S = \frac 2 1 a \sqrt \beta = \frac 2 1 ab \cos \alpha = \frac {b^1}{2 \sin \frac \beta 1};

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Jacobs. . — 1974. — С. 144.
  2. Stahl 2003, стр. 37.
  3. Ostermann & Wanner. . — 2012. — С. 55, упражнение 7.