Равнобедренный треугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Терминология[править | править вики-текст]

Если треугольник имеет две равные стороны, то эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник, который имеет две равные стороны, но современная трактовка[1] предпочитает определение, где треугольник имеет хотя бы две равные стороны, определяя таким образом равносторонний треугольник как частный случай равнобедренного.

Симметрия[править | править вики-текст]

Треугольник с двумя равными сторонами имеет одну ось симметрии, которая проходит через вершинный угол и середину основания. Эта ось симметрии совпадает с биссектрисой вершинного угла, медианой, проведённой к основанию, высотой, проведённой из вершинного угла и с серединным перпендикуляром[2][уточнить].

Свойства[править | править вики-текст]

  • Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
  • Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, h — высота равнобедренного треугольника

  • (следствие теоремы косинусов);
  • (следствие теоремы косинусов);
  • ;
  • (теорема о проекциях)

Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:

Углы могут быть выражены следующими способами:

  • (теорема синусов).
  • Угол может также найден без и . Треугольник делится медианой пополам, и в полученных двух равных прямоугольных треугольниках вычисляется углы :

Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами:

  • (по определению);
  • (следствие теоремы синусов).

Площадь треугольника находится следующими способами:

Смотри также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Stahl 2003, стр. 37.
  2. Ostermann & Wanner. . — 2012. — С. 55, упражнение 7.