Равновесие Нэша

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Равновесие Нэша

Концепция решения в теории игр

Связанные множества решений
Надмножества

Рационализуемость
Коррелированное равновесие
ε-равновесие

Подмножества

Равновесие, совершенное по подыграм
Равновесие дрожащей руки
Эволюционно стабильная стратегия
Сильное равновесие

Факты
Авторство

Джон Нэш

Применение

Все некооперативные игры

Равнове́сие Нэ́ша — концепция решения, одно из ключевых понятий теории игр. Так называется набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют[1]. Джон Нэш доказал существование такого равновесия в смешанных стратегиях в любой конечной игре.

История[править | править вики-текст]

Эта концепция впервые использована Антуаном Огюстом Курно. Он показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Нэш первым доказал, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. Это было сделано в его диссертации по некооперативным играм в 1950-м году.

До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Математическая формулировка[править | править вики-текст]

Допустим,  — некооперативная игра n лиц в нормальной форме, где S — набор чистых стратегий, а H — набор выигрышей. Когда каждый игрок выбирает стратегию в профиле стратегий игрок i получает выигрыш Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии , выбранной самим игроком i, но и от чужих стратегий , то есть всех стратегий при . Профиль стратегий является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с на не выгодно ни одному игроку , то есть для любого

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Примеры использования понятия[править | править вики-текст]

Социология[править | править вики-текст]

В социологической теории рационального выбора отдельно подчёркивается, что устойчивое состояние общества (социальное равновесие) может отличаться от оптимального (социальный оптимум). Такие неоптимальные но устойчивые состояния и называют в социологии равновесием Нэша.

Актор B
1 2
Актор A 1 A+1,B+1 A-1,B+2
2 A+2,B-1 A 0,B 0

В таблице слева приведена структура действия в терминах теории игр, составленная для двух действующих субъектов (акторов). Каждый актор имеет два варианта действия, обозначенных цифрами 1 и 2. Коэффициенты вознаграждения получаемые ими при выборе определённых вариантов действия указаны в соответствующих ячейках таблицы. Предположим, что в данный момент оба актора используют действие 2, а их вознаграждения соответственно равны нулю. Выбрав действие 1 актор A ухудшит собственную ситуацию на одну позицию (A-1,B+2). Аналогично актор B самостоятельно выбрав вариант 1, в то время когда актор A продолжает использовать действие 2, только ухудшит свою ситуацию (A+2,B-1). Таким образом, несмотря на то, что оба актора понимают, что оптимальным для них была бы ситуация, когда оба они используют действие 1 (вознаграждение — A+1,B+1), ни у одного из них нет мотива к изменению ситуации, а равновесие становится результатом отсутствия таких мотивов. Если система уже находится в оптимальном состоянии (когда оба актора выбрали действие 1), то у обоих из них всегда будет искушение начать использовать действие 2, которое принесет им вознаграждение за счет другого игрока. Этот пример иллюстрирует возможность существования двух социальных состояний: устойчивого, но неоптимального (оба актора используют вариант 2); а также второго оптимального, но неустойчивого (оба актора используют вариант 1).[2]

Политология[править | править вики-текст]

Для объяснения различных явлений в политической теории часто используется понятие ядра, являющимся более слабым вариантом равновесия Нэша. Ядром называют набор состояний, в каждом из которых ни одна группа акторов, способных выстроить новое (отсутствующее в данном ядре) состояние, не улучшит своей ситуации по сравнению с их состоянием в данном ядре.[2]

Экономика[править | править вики-текст]

В отрасли имеются две фирмы № 1 и № 2. Каждая из фирм может установить два уровня цен: «высокие» и «низкие». Если обе фирмы выберут высокие цены, то каждая будет иметь прибыль по 3 млн. Если обе выберут низкие, то каждая получит по 2 млн. Однако, если одна выберет высокие, а другая низкие, то вторая получит 4 млн, а первая только 1. Наиболее выигрышный в сумме вариант — одновременный выбор высоких цен (сумма = 6 млн). Однако это состояние нестабильно из-за возможности относительного выигрыша, которая открывается перед фирмой, отступившей от этой стратегии. Поэтому обе компании с наибольшей вероятностью выберут низкие цены. Хотя этот вариант и не дает максимального суммарного выигрыша (сумма=4 млн.), он исключает относительный выигрыш конкурента, который тот мог бы получить за счет отступления от взаимно-оптимальной стратегии. Такая ситуация и называется «равновесием по Нэшу»[3].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: МГУ, 2005, 272 с.
  2. Воробьёв Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985
  3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
  4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.