Равновесие Нэша

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Джон Форбс Нэш

Равнове́сие Нэ́ша (англ. Nash equilibrium, названо в честь Джона Нэша) — так в теории игр называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, когда другие участники стратегий не меняют. Такая совокупность стратегий, выбранных участниками, и их выигрыши называются равновесием Нэша[1].

Концепция равновесия Нэша (РН) впервые использована не Нэшем; Антуан Огюст Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша — Курно[источник не указан 27 дней]. Однако Нэш первым показал в своей диссертации по некооперативным играм в 1950-м году, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Формальное определение[править | править вики-текст]

Допустим, (S, H) — игра n лиц в нормальной форме, где S  — набор чистых стратегий, а H — набор выигрышей. Когда каждый игрок i \in \{1, ..., n\} выбирает стратегию x_i \in S в профиле стратегий  \ x = (x_1, ..., x_n), игрок i получает выигрыш  \ H_i(x). Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии x_i, выбранной самим игроком i, но и от чужих стратегий x_{-i}. Профиль стратегий x^* \in S является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с x_i^* на x_i не выгодно ни одному игроку  \ i, то есть для любого  \ i

H_i(x^*) \geq H_i(x_i, x^*_{-i}).

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Примеры[править | править вики-текст]

  • В отрасли имеются две фирмы № 1 и № 2. Каждая из фирм может установить два уровня цен: «высокие» и «низкие». Если обе фирмы выберут высокие цены, то каждая будет иметь прибыль по 3 млн. Если обе выберут низкие, то каждая получит по 2 млн. Однако, если одна выберет высокие, а другая низкие, то вторая получит 4 млн, а первая только 1. Наиболее выигрышный в сумме вариант — одновременный выбор высоких цен (сумма = 6 млн). Однако это состояние нестабильно из-за возможности относительного выигрыша, которая открывается перед фирмой, отступившей от этой стратегии. Поэтому обе компании с наибольшей вероятностью выберут низкие цены. Хотя этот вариант и не дает максимального суммарного выигрыша (сумма=4 млн.), он исключает относительный выигрыш конкурента, который тот мог бы получить за счет отступления от взаимно-оптимальной стратегии. Такая ситуация и называется «равновесием по Нэшу»[2].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: МГУ, 2005, 272 с.
  2. Воробьёв Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985
  3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
  4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.