Равновесие Нэша

Равновесие Нэша
Концепция решения в теории игр
Связанные множества решений
Надмножества	Рационализируемость Коррелированное равновесие ε-равновесие
Подмножества	Равновесие, совершенное по подыграм Равновесие дрожащей руки Эволюционно стабильная стратегия Сильное равновесие
Факты
Авторство	Джон Нэш
Применение	Все некооперативные игры

Равнове́сие Нэ́ша — концепция решения, одно из ключевых понятий теории игр. Так называется набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют. Джон Нэш доказал существование такого равновесия в смешанных стратегиях в любой конечной игре.

История

Джон Форбс Нэш

Эта концепция впервые использована Антуаном Огюстом Курно. Он показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Нэш первым доказал, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. Это было сделано в его диссертации по некооперативным играм в 1950 году.

До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Математическая формулировка

Соотношение равновесных концепций решения. Стрелками обозначено направление от рафинирований к менее требовательным концепциям

Допустим, $(S,H)$ — некооперативная игра n лиц в нормальной форме, где S — набор чистых стратегий, а H — набор выигрышей. Когда каждый игрок $i\in \{1,...,n\}$ выбирает стратегию $x_{i}\in S$ в профиле стратегий $x=(x_{1},...,x_{n}),$ игрок i получает выигрыш $H_{i}(x).$ Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии $x_{i}$, выбранной самим игроком i, но и от чужих стратегий $x_{-i}$, то есть всех стратегий $x_{j}$ при $j\neq i$. Профиль стратегий $x^{*}\in S$ является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с $x_{i}^{*}$ на $x_{i}$ не выгодно ни одному игроку $i$, то есть для любого $i$

$H_{i}(x^{*})\geqslant H_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).$

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой).

Чисто-стратегическое равновесие Нэша

Чистая стратегия (англ. Pure strategy) — это выбор конкретного, детерминированного действия игроком. В игре с конечным числом чистых стратегий, чисто-стратегическое равновесие Нэша — это профиль стратегий $\mathbf {s} ^{*}=(s_{1}^{*},s_{2}^{*},\dots ,s_{n}^{*})$, где $s_{i}^{*}$ — чистая стратегия игрока $i$, такой что для каждого игрока $i$ и любой другой его чистой стратегии $s_{i}\in S_{i}$ выполняется:

$u_{i}(s_{i}^{*},\mathbf {s} _{-i}^{*})\geq u_{i}(s_{i},\mathbf {s} _{-i}^{*}),$

где $\mathbf {s} _{-i}^{*}$ — набор чистых стратегий всех игроков, кроме $i$, а $u_{i}$ — функция выигрыша игрока $i$.

В ряде игр, например, в «Дилемме заключённого», такое равновесие существует. Однако в других играх, таких как «Камень, ножницы, бумага», чисто-стратегическое равновесие отсутствует.

Смешанно-стратегическое равновесие Нэша

Смешанная стратегия (англ. Mixed strategy) игрока — это вероятностное распределение на множестве его чистых стратегий. Игрок выбирает каждую чистую стратегию с определённой вероятностью. Смешанная стратегия $\sigma _{i}$ представляет собой вектор вероятностей $\mathbf {p} _{i}$, где $\sum _{s\in S_{i}}p_{i}(s)=1$.

Смешанно-стратегическое равновесие Нэша — это набор смешанных стратегий ${\boldsymbol {\sigma }}^{*}=(\sigma _{1}^{*},\sigma _{2}^{*},\dots ,\sigma _{n}^{*})$, такой что для каждого игрока $i$ и любой его смешанной стратегии $\sigma _{i}$ выполняется:

$\mathbb {E} [u_{i}(\sigma _{i}^{*},{\boldsymbol {\sigma }}_{-i}^{*})]\geq \mathbb {E} [u_{i}(\sigma _{i},{\boldsymbol {\sigma }}_{-i}^{*})],$

где $\mathbb {E} [u_{i}(\dots )]$ — ожидаемый выигрыш игрока $i$ при использовании смешанных стратегий. Если игрок использует собственную смешанную стратегию (т.е. присваивает ненулевую вероятность нескольким чистым стратегиям), он должен быть безразличен в отношении выигрыша от каждой из этих чистых стратегий.

Существование равновесия

Отсутствие равновесия Нэша в чистых стратегиях характерно для многих матричных игр. Включение смешанных стратегий позволяет гарантировать существование равновесия.

Теорема Нэша о существовании (англ. Nash's existence theorem) — фундаментальный результат, доказанный Джоном Нэшем в 1950 году:

В любой конечной игре (игре с конечным числом игроков и конечным числом чистых стратегий у каждого игрока) в нормальной форме существует, по меньшей мере, одно равновесие Нэша в смешанных стратегиях.

Доказательство теоремы опирается на теорему о неподвижной точке Какутани. Теорема гарантирует, что даже если в игре нет стабильного чистого выбора, всегда существует стабильный вероятностный (смешанный) выбор, от которого ни один рациональный игрок не захочет отклониться в одностороннем порядке.

Тем не менее, существуют большие семейства игр, в которых равновесие Нэша существует и в чистых стратегиях . Примерами являются конечные позиционные (графовые) игры с $n$ игроками и с совершенной информацией. В случае двух игроков, существование равновесия Нэша в чистых стратегиях эквивалентно двойственности гиперграфов. Для игр с нулевой суммой это было показано Дж. Эдмондсом и Д. Р. Фулкерсоном. Позднее этот результат был обобщен для игр с ненулевой суммой . Примечательно, что в таких равновесиях стратегия одного игрока не зависит от предпочтений другого.

Примеры использования понятия

Социология

В социологической теории рационального выбора отдельно подчёркивается, что устойчивое состояние общества (социальное равновесие) может отличаться от оптимального (социальный оптимум). Такие неоптимальные, но устойчивые состояния и называют в социологии равновесием Нэша.

		Актор B
		1	2
Актор A	1	A: +1, B: +1	A: −1, B: +2
	2	A: +2, B: −1	A: 0, B: 0

В таблице слева приведена структура действия в терминах теории игр, составленная для двух действующих субъектов (акторов). Каждый актор имеет два варианта действия, обозначенных цифрами 1 и 2. Коэффициенты вознаграждения, получаемые ими при выборе определённых вариантов действия, указаны в соответствующих ячейках таблицы. Предположим, что в данный момент оба актора используют действие 2, а их вознаграждения соответственно равны нулю. Выбрав действие 1, актор A ухудшит собственную ситуацию на одну позицию (A: −1, B: +2). Аналогично актор B самостоятельно выбрав вариант 1, в то время когда актор A продолжает использовать действие 2, только ухудшит свою ситуацию (A: +2, B: −1). Таким образом, несмотря на то, что оба актора понимают, что оптимальным для них была бы ситуация, когда оба они используют действие 1 (вознаграждение — A: +1, B: +1), ни у одного из них нет мотива к изменению ситуации, а равновесие становится результатом отсутствия таких мотивов. Если система уже находится в оптимальном состоянии (когда оба актора выбрали действие 1), то у обоих из них всегда будет искушение начать использовать действие 2, которое принесёт им вознаграждение за счёт другого игрока. Этот пример иллюстрирует возможность существования двух социальных состояний: устойчивого, но неоптимального (оба актора используют вариант 2); а также второго оптимального, но неустойчивого (оба актора используют вариант 1).

Политология

Для объяснения различных явлений в политической теории часто используется понятие ядра́, являющееся более слабым вариантом равновесия Нэша. Ядром называют набор состояний, в каждом из которых ни одна группа акторов, способных выстроить новое (отсутствующее в данном ядре) состояние, не улучшит своей ситуации по сравнению с их состоянием в данном ядре.

Экономика

В отрасли имеются две фирмы № 1 и № 2. Каждая из фирм может установить два уровня цен: «высокие» и «низкие». Если обе фирмы выберут высокие цены, то каждая будет иметь прибыль по 3 млн. Если обе выберут низкие, то каждая получит по 2 млн. Однако, если одна выберет высокие, а другая низкие, то вторая получит 4 млн, а первая только 1 млн. Наиболее выигрышный в сумме вариант — одновременный выбор высоких цен (сумма = 6 млн). Однако это состояние (при отсутствии картельного сговора) нестабильно из-за возможности относительного выигрыша, которая открывается перед фирмой, отступившей от этой стратегии. Поэтому обе компании с наибольшей вероятностью выберут низкие цены. Хотя этот вариант и не даёт максимального суммарного выигрыша (сумма = 4 млн), он исключает относительный выигрыш конкурента, который тот мог бы получить за счёт отступления от взаимно-оптимальной стратегии. Такая ситуация и называется «равновесием по Нэшу».

В модели олигополии Штакельберга для двух фирм-участников бескоалиционной игры можно принять, что существует две стратегии: 1. дуополист Курно (K) и дуополист Штакельберга (S), то есть S-стратег. Таким образом для двух игроков возможны следующие стратегии:

(K1;K2) (K1;S2);(K2;S1);(S1;S2). Как следует из построения модели прибыль при выборе стратегии S: $\pi ^{1}={\frac {(a-c)^{2}}{8b}}$, а при выборе стратегии K: $\pi ^{2}={\frac {(a-c)^{2}}{16b}}$, видно, что максимальный выигрыш первого игрока реализуется в ситуации (S1;K2), а второго (K1;S2). Так как эти ситуации несовместимы, то есть не могут реализоваться одновременно, то получить максимальный выигрыш оба игрока одновременно не могут. В данном случае оптимальным поведением обоих игроков будет выбор стратегии S, так как в этом случае стратегия S лучше стратегии K с точки зрения минимального возможного выигрыша. В данном случае выбор (S1;S2) является равновесием по Нэшу. Односторонее отклонение от данной стратегии автоматически уменьшает выигрыш любого из игроков, при этом суммарный выигрыш в данном типе равновесия меньше суммарного выигрыша при выборе стратегии (K1;K2) обоими игроками. Однако в условиях данной модели при отсутствии обмена информацией между игроками отклонение от равновесия по Нэшу не будет реализовано в виду повышенного риска того, что второй игрок может воспользоваться ситуацией и не выбрать стратегию K.

Военное дело

Концепция взаимного гарантированного уничтожения. Ни одна из сторон, владеющих ядерным оружием, не может ни безнаказанно начать конфликт, ни разоружиться в одностороннем порядке.

См. также

• Эффективность по Парето
• Парадокс Бертрана
• Эволюционно стабильная стратегия

Литература

1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: МГУ, 2005, 272 с. ISBN 5-317-01388-7.
2. Воробьёв Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985
3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.