Равномерная непрерывность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Равноме́рная непреры́вность — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения. В математическом анализе это понятие вводится для числовых функций, в функциональном анализе оно обобщается на произвольные метрические пространства.

Понятие непрерывности наглядно означает, что малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Свойство равномерной непрерывности ставит дополнительное условие: величина, ограничивающая отклонение значения аргумента, должна зависеть только от величины отклонения функции, но не от значения аргумента, то есть должна быть пригодна на всей области определения функции.

Равномерная непрерывность числовых функций[править | править код]

Определение[править | править код]

Числовая функция вещественного переменного равномерно непрерывна, если[1]:

Здесь важно, что выбор зависит только от величины и пригоден для любых

Приведенное определение легко обобщается на случай функций нескольких переменных[2].

Примеры[править | править код]

Функция

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как для любого (сколь угодно малого) можно указать такой отрезок значений аргумента , что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на Связано это с тем, что наклон графика функции в районе нуля неограниченно растёт.

Другой пример: функция

непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как

Всегда можно выбрать для любого отрезка сколь угодно малой длины такое, что разница значений функции на концах отрезка будет больше В частности, на отрезке разница значений функции стремится к

Свойства[править | править код]

Из определения сразу следуют два свойства:

  • Функция, равномерно непрерывная на множестве , непрерывна на нём. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Функция, равномерно непрерывная на множестве, будет равномерно непрерывна и на любом его подмножестве.

Равномерно непрерывная на ограниченном промежутке функция всегда ограничена на этом промежутке[3]. На бесконечном промежутке равномерно непрерывная функция может быть не ограничена (например, при ).

Некоторые признаки равномерной непрерывности функции[править | править код]

  1. Теорема о равномерной непрерывности (Кантор): функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.
  2. Сумма, разность и композиция равномерно непрерывных функций равномерно непрерывны[4]. Однако произведение равномерно непрерывных функций может не быть равномерно непрерывно. Контрпример[5]: пусть Обе функции равномерно непрерывны при , но их произведение не является равномерно непрерывным на . Для ограниченного промежутка произведение равномерно непрерывных функций всегда равномерно непрерывно[3].
  3. Если функция определена и непрерывна на и существует конечный предел , то функция равномерно непрерывна на . Другими словами, функция, определённая на бесконечном полуинтервале, может быть не равномерно непрерывной только если её предел в бесконечности не существует или бесконечен[6].
  4. Ограниченная монотонная функция, непрерывная на интервале (или на всей числовой прямой), равномерно непрерывна на этом интервале[7].
  5. Функция, непрерывная на всей числовой прямой и периодичная, равномерно непрерывна на всей числовой прямой[8].
  6. Функция, имеющая на промежутке ограниченную производную, равномерно непрерывна на этом промежутке[9].

Равномерная непрерывность отображений метрических пространств[править | править код]

Определение[править | править код]

Пусть даны два метрических пространства и

Отображение называется равноме́рно непреры́вным на подмножестве если[4]:

Свойства[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]