Радикальная ось

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Радикальная ось двух пересекающихся окружностей

Радика́льная ось — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны[1]. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведённых к двум данным окружностям из любой точки данного геометрического места точек.

Радикальная ось является прямой, поскольку степень точки относительно окружности равна , где коэффициенты , и определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получается:

— уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.

Радикальная ось двух непересекающихся окружностей

Радикальная ось существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и мнимых окружностей (мнимого радиуса).

Три возможных случая: 1) окружности не пересекаются и ни одна из них не лежит внутри другой; 2) окружности пересекаются; 3) окружности не пересекаются и одна из них лежит внутри другой

Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.

Если  — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.

Расширяющиеся окружности точек степени относительно каждой из двух начальных окружностей и точки, принадлежащие радикальной оси (жёлтые)

Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, проходящая через эти точки, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).

Построение радикальной оси двух окружностей

Если прямые, содержащие хорды и первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник вписанный. Это несложно доказать: пусть  — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и Так как то точки и лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что  — общая хорда первой и третьей, а  — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные в четырёх точках, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.

Радикальный центр трёх окружностей

Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром. Пусть  — окружности, а  — точка пересечения радикальной оси окружностей и с радикальной осью окружностей и . Если  — степень точки относительно окружности то по определению радикальной оси и точка лежит на радикальной оси окружностей и

Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, находится на радикальной оси

Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть).

Антигомологические хорды[уточнить] двух окружностей пересекаются на их радикальной оси (видимо, имеются в виду две хорды, проходящие через две пары антигомотетических точек двух окружностей.

Если для четырёхугольника прямые и пересекаются в точке , и  — в , то окружности, построенные на отрезках , и , как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников , , и (прямая Обера — Штейнера).

Антигомотетические точки двух окружностей имеют хорды, которые пересекаются на радикальной оси

Ортогональность

[править | править код]
Построение радикальной оси двух непересекающхся окружностей; радикальная ось показана красной

Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Две пересекающиеся в точках и окружности с центрами и называются ортогональными, если являются прямыми углы и . Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведённому в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.

Возможно другое дополнительное условие: если две пересекающиеся в точках и окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках и , то есть дуга равна дуге , дуга равна дуге , то эти окружности называются ортогональными, если являются прямыми углы и .

На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с двумя его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки. Вариант формулировки: если две вневписанные окружности треугольника касаются двух его разных сторон и двух их продолжений в четырёх точках касания, то образуемый четырьмя последними точками, как вершинами, четырёхугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны две боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к двум окружностям).

Диагонали описанного около окружности шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона для окружности).

Примечания

[править | править код]
  1. Радикальная ось (Геометрический кружок МЦНМО, 8-9 класс. MCCME. Дата обращения: 15 июня 2024. Архивировано 15 июня 2024 года.