Разделённая разность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Разделённая ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть функция задана на (связном) множестве и фиксированы попарно различные точки

Тогда разделённой разностью нулевого порядка функции в точке называют значение а разделённую разность порядка для системы точек определяют через разделённые разности порядка по формуле

в частности,

Для разделённой разности верна формула

в частности,

Разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется, в частности,

При фиксированной системе точек разделённая разность является линейным функционалом, то есть для функций и и скаляров и :

Применение[править | править вики-текст]

С помощью разделённых разностей функции для узлов можно записать

как интерполяционный многочлен Ньютона «вперёд»:

так и интерполяционный многочлен Ньютона «назад»:

Преимущества:

1) для вычислений разделённых разностей требуется действий (деления), что меньше, чем в других алгоритмах;

2) вычислять значения интерполяционного многочлена можно по схеме Горнера за действий (умножения);

3) хранения требуют узел и разность, причём разности можно хранить (получить) в тех же ячейках, где были заданы значения  ;

4) по сравнению с интерполяционным многочленом Лагранжа упрощено добавление нового узла.

С помощью

первую из формул можно записать в виде

История[править | править вики-текст]

Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганом в 1848 году[1].

Пример[править | править вики-текст]

Пример для функции

Составить таблицу конечных разностей функции от начального значения , приняв шаг (см. рисунок).

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]