Разложение Риччи

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Разложение Риччи — это разложение тензора кривизны Римана на неприводимые относительно ортогональной группы тензорные части. Это разложение играет важную роль в римановой и псевдоримановой геометрии.

Составные части тензора Римана[править | править код]

Разложение выглядит так:

Его элементами являются:

  1. скалярная часть ,
  2. полубесследовая часть ,
  3. полностью бесследовая часть, носящая специальное название тензор Вейля, .

Каждый элемент имеет те же симметрии, как и тензор кривизны, но также обладает специфическими алгебраическими свойствами.

Скалярная часть

зависит только от скалярной кривизны (где тензор Риччи), и метрического тензора , который комбинируется таким образом, чтобы дать тензор с симметрией тензора кривизны:

Полубесследовая часть

получается аналогичным образом из бесследовой части тензора Риччи

и метрического тензора .

Тензор Вейля полностью бесследовой в том смысле, что его свёртка по любой паре индексов даёт ноль. Герман Вейль показал, что этот тензор измеряет отклонение псевдориманова многообразия от конформно-плоского: в рамерностях 4 и выше, обращение его в ноль, влечёт, что многообразие локально конформно-эквивалентно плоскому многообразию.

Это разложение — чисто алгебраическое и не включает в себя никаких дифференцирований.

В случае лоренцева 4-мерного многообразия (например, пространства-времени) тензор Эйнштейна имеет след, равный скалярной кривизне с обратным знаком, так что бесследовые части тензора Эйнштена и тензора Риччи совпадают

Замечание о терминологии: обозначения  — стандартны,  — широко распространены, но не общеприняты, а тензоры и не имеют устоявшихся обозначений.

Как неприводимое представление[править | править код]

Разложение Риччи представляет собой разложение пространства всех тензоров с симметрией тензора кривизны на неприводимые представления ортогональной группы[1]. Пусть V — n-мерное векторное пространство с введённой на нём метрикой (возможно, смешанной сигнатуры). Если оно представляет собой касательное пространство в точке многообразия, то тензор кривизны R с ковариантными индексами представляет собой элемент тензорного произведения VVVV, такой что он антисимметричен по паре первых и последних элементов:

и симметричен относительно их перестановки

для всех x,y,z,w ∈ V. Тогда R принадлежит подпространству , квадратичных форм на бивекторах пространства V. Помимо этого, тензор кривизны должен также удовлетворять тождеству Бианки, обозначающему, что он принадлежит ядру линейного отображения антисимметризации

Ядро представляет собой пространство алгебраических тензоров кривизны. Разложение Риччи представляет собой разложение этого пространства на неприводимые компоненты. Отображение свёртки Риччи

определяется равенством

Это отображение позволяет сопоставить каждому алгебраическому тензору кривизны симметрическую 2-форму. Наоборот, для любых симметрических 2-форм и произведение Кулкарни — Номидзу

определяет алгебраический тензор кривизны.

При имеется (единственное) ортогональное разложение на неприводимые подпространства:

RV = SVEVCV,

где

где S2
0
V — пространство симметричных 2-форм с нулевым следом;

Компоненты S, E и C разложения Риччи данного тензора Римана R представляют собой ортогональные проекции R на инвариантные подпространства. В частности,

и

Разложение Риччи выражает пространство тензоров с симметрией тензора Римана как прямую сумму скалярного подмодуля, подмодуля Риччи и подмодуля Вейля. Каждый из этих модулей представляет собой неприводимое представление ортогональной группы, и таким образом это разложение является частным случаем разложения модуля полупростой группы Ли на неприводимые множители.

В 4-мерном случае, модуль Вейля разлагается дополнительно в пару неприводимых множителей по специальной ортогональной группе: самодуальную и антисамодуальную части W+ и W.

Физическая интерпретация[править | править код]

Разложение Риччи имеет физическое значение в рамках общей теории относительности и других метрических теорий гравитации, где оно называется иногда разложением Гехеняу — Дебевера (Géhéniau-Debever). В этой теории уравнения Эйнштейна

где тензор энергии-импульса, который содержит плотности и потоки энергии и импульса всей негравитационной материи, утверждают, что тензор Ричи (или, эквивалентно, тензор Эйнштейна) описывают ту часть гравитационного поля, которая непосредственно порождается негравитационными энергией и импульсом. Тензор Вейля представляет собой часть гравитационного поля, которая распространяется даже через области пространства, не содержащие материи или полей негравитационной природы — например, в виде гравитационных волн или приливных сил[2]. Области пространства-времени, в которых тензор Вейля обнуляется, не содержат гравитационных волн и являются конформно плоскими, что влечёт за собой, например, отсутствие гравитационного отклонения света в таких областях.

Примечания[править | править код]

  1. Besse, 1987, Chapter 1, §G.
  2. John Baez. The Ricci and Weyl Tensors (англ.). General Relativity Tutorial. Проверено 4 июня 2016. Архивировано 19 марта 2016 года.

Ссылки[править | править код]

  • Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, сс. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .
  • Hawking, S. W.; and Ellis, G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time. — Cambridge: Cambridge University Press, 1973. — ISBN 0-521-09906-4. See section 2.6 for the decomposition. This book uses opposite signature but the same Landau-Lifshitz spacelike sign convention used in the Wikipedia.
  • Weinberg, Steven. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. — New York: John Wiley & Sons, 1972. — ISBN 0-471-92567-5. See section 6.7 for a discussion of the decomposition (but note different sign conventions).
  • Wald, Robert M. General Relativity. — The University of Chicago Press, 1984. — ISBN 0-226-87033-2. See section 3.2 for a discussion of the decomposition.
  • Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 . Section 6.1 discusses the decomposition. Versions of the decomposition also enter into the discussion of conformal and projective geometries, in chapters 7 and 8.
  • Singer, I.M. & Thorpe, J.A. (1969), "The curvature of 4-dimensional Einstein spaces", Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira), Univ. Tokyo Press, сс. 355–365 .