Разложение Шура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Разложение Шура — разложение матрицы на унитарную, верхнюю треугольную и обратную унитарную матрицы, названое именем Исая Шура.

Утверждение[править | править код]

Если является квадратной матрицей порядка с комплексными элементами, то её можно представить в виде[1][2]:

где  — унитарная матрица (так что её обратная является эрмитово-сопряжённой матрицы ), а  — верхняя треугольная матрица, которая называется формой Шура матрицы . Поскольку подобна матрице , она имеет то же мультимножество собственных значений, а поскольку она треугольна, эти собственные значения совпадают с диагональными элементами матрицы .

Из разложения Шура следует, что существует вложенная последовательность -инвариантных подпространств и упорядоченный ортогональный базис, такие что линейная комбинация первых базисных векторов даёт для всех в последовательности. Иными словами, первая часть говорит, что линейное отображение на комплексном конечномерном векторном пространстве стабилизирует весь флаг .

Доказательство[править | править код]

Конструктивное доказательство разложения Шура следующее: любой оператор в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение , соответствующее собственному пространству . Пусть  — ортонормальное дополнение. При таком ортогональном разложении имеет матричное представление (можно выбрать любые ортонормальные базисы и для натянутых на них пространств и соответственно):

,

где  — тождественный оператор на . Полученная матрица треугольна за исключением блока . Но точно ту же процедуру можно совершить для подматрицы , которая рассматривается как оператор на и её подматрицы. Продолжив процедуру раз, пространство будет исчерпано и построение даст желаемый результат.

Особенности[править | править код]

Хотя любая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае такое разложение не единственно. Например, собственное пространство может иметь размерность более 1, и в этом случае любой ортонормальный базис для даст желаемый результат.

Треугольная матрица может быть представлена в виде суммы диагональной и строго верхней треугольной : . Строго верхняя треугольная матрица нильпотентна. Диагональная матрица содержит собственные значения матрицы в случайном порядке. Нильпотентная часть в общем случае также не уникальна, но её норма Фробениуса единственным образом определяется матрицей , так как норма Фробениуса матрицы равна норме Фробениуса матрицы .

Если является нормальной, то её форма Шура диагональна, а столбцы матрицы разложения будут собственными векторами матрицы . Таким образом, разложение Шура обобщает спектральное разложение. В частности, если является положительно определённой, её разложение Шура, её спектральное разложение и её сингулярное разложение совпадают.

Коммутативное семейство матриц может быть приведено к треугольному виду одновременно, то есть существует унитарная матрица , такая что для любой из данного семейства выполнено является верхней треугольной. Конечное утверждение доказывается индукцией. Как следствие, любое коммутативное семейство нормальных матриц может быть приведено к треугольному виду[en].

В бесконечномерном случае не всякий ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако приведение к треугольному виду произвольной квадратной матрицы обобщается для компактных операторов. Любой компактный оператор в банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.

Вычисление[править | править код]

Декомпозиция Шура заданной матрицы выполняется QR-алгоритмом или его вариантами. С использованием таких алгоримов для разложения Шура нет необходимости заранее вычислять корни характеристического многочлена, соответствующего матрице. И наоборот, QR-алгоритм можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путём нахождения разложения Шура его сопровождающей матрицы. Таким же образом QR-алгоритм используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. Все необходимые алгоритмы реализованы, в частности, в библиотеке Lapack[3].

Приложения[править | править код]

Из разложения Шура следуют некоторые важные результаты теории Ли[en], в частности:

Обобщённое разложение Шура[править | править код]

Обобщённое разложение Шура двух квадратных матриц и  — согласованная пара разложений обеих матриц и , где и  — унитарны, а и  — треугольные. Обобщённое разложение Шура иногда называется также QZ-разложением.

Обобщённые собственные значения , решающие задачу обобщённых значений (где  — неизвестный ненулевой вектор), могут быть вычислены как отношение диагональных элементов к соответствующит элементам . То есть, -е обобщённое собственное значение удовлетворяет равенству .

Примечания[править | править код]

  1. R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 1985. — ISBN 0-521-38632-2.)
  2. G. H. Golub, C. F. Van Loan. Matrix Computations. — 3rd. — Johns Hopkins University Press, 1996. — ISBN 0-8018-5414-8.
  3. E. Anderson. LAPACK Users' Guide. — Third. — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. — ISBN 0-89871-447-8.

Литература[править | править код]

  • В. В. Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры. — 2-е. — Москва, 2008. — С. 226-227 (3.7.1. Разложение Шура), 498 (9.3.5. Разложение Шура).