Разложение матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Разложе́ние ма́трицы — представление матрицы в виде произведения матриц, обладающих некоторыми определёнными свойствами, например, ортогональностью, симметричностью, диагональностью — и потому облегчающих рассмотрение свойств линейного оператора с матрицей .

Классификация[править | править вики-текст]

Количественное рассмотрение[править | править вики-текст]

[1]

Полярное разложение[править | править вики-текст]

Полярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной и симметричной с неотрицательными собственными значениями матриц.

Так как , то матрица симметричная. Существует[2] базис, который можно обозначить через , состоящий из ортонормированных векторов матрицы , расположенных в порядке убывания собственных значений.

Так как , то для любых векторов и базиса выполняется . Значит, образ базиса относительно преобразования ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования векторы базиса преобразуются в векторы .

Сингулярные числа матрицы  — квадратные корни из собственных значений матрицы .

Отсюда очевидно, что . Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число , что .

Пусть  — система векторов при , дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть  — матрица перехода из базиса в базис . Так как оба базиса ортонормированные, то матрица ортогональная. Так как , то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы . Это значит, что матрица в базисе имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.

Итак, , где матрица ортогональная, а матрица симметричная.

Сингулярное разложение[править | править вики-текст]

Сингулярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной, диагональной с сингулярными числами на диагонали, и ортогональной матриц.

Имеется полярное разложение A=QS, где Q ортогональна и S симметрична. Можно обозначить через матрицу перехода в базис, в котором симметричная матрица имеет диагональный вид ; тогда , и ; соответственно ; матрица ортогональна как произведение ортогональных. Матрица , действительно, имеет сингулярные числа данного преобразования на диагонали (см. доказательство полярного разложения); обозначая , , получаем , где и ортогональны, диагональна с сингулярными числами на диагонали.

Источники[править | править вики-текст]

  1. Беклемишев, Д. В. Глава VI. Линейные пространства // Курс аналитическое геометрии и линейной алгебры. — 10-е изд., испр.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 232-233. — 304 с. — ISBN 5-9221-0304-0.
  2. собственные значения симметричной матрицы