Размерность Крулля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В коммутативной алгебре, размерность Крулля коммутативного кольца — это наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов. Размерность Крулля не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.

Размерность Крулля позволяет сформулировать чисто алгебраическое определение размерности алгебраического многообразия: размерность аффинного алгебраического многообразия, заданного идеалом I в кольце многочленов R — это размерность Крулля факторкольца R/I.

Определение[править | править исходный текст]

Мы говорим, что цепочка простых идеалов вида \mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n имеет длину n, то есть считаем число строгих включений, а не число идеалов. Размерность Крулля кольца R — это максимум длины по множеству всех цепочек простых идеалов R.

Для простого идеала \mathfrak{p} можно определить его коразмерность, обозначаемую \operatorname{codim}(\mathfrak{p}), как максимальную длину цепочки простых идеалов вида \mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n\subseteq \mathfrak{p}.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Размерность произвольного поля равна нулю, более общо, размерность кольца многочленов k[x1, …, xn] равна n. Более того, если R — нётерово кольцо, размерность которого равна n, то размерность кольца R[x] равна n+1. Без гипотезы нётеровости размерность R[x] может находиться в пределах от n+1 до 2n+1.
  • Размерность любого кольца главных идеалов равна 1.
  • Целостное кольцо является полем тогда и только тогда, когда его размерность равна нулю. Дедекиндовы кольца, не являющиеся полями, имеют размерность 1.
  • Нётерово кольцо является артиновым тогда и только тогда, когда его размерность равна нулю.
  • Целое расширение кольца имеет ту же размерность, что и исходное кольцо.
  • Размерность Крулля кольца R равна размерности его спектра как топологического пространства, то есть максимальной длине цепочки неприводимых замкнутых подмножеств.

Размерность модуля[править | править исходный текст]

Если R — коммутативное кольцо и M — R-модуль, размерность Крулля M опредляется как размерность Крулля факторкольца по аннулятору модуля:

\operatorname{dim}_R M := \operatorname{dim}( R/\operatorname{Ann}_R(M))

где AnnR(M) — это ядро естественного отображения R → EndR(M) (сопоставляющего элементу кольца умножение на этот элемент).

Высота идеала[править | править исходный текст]

Высота простого идеала \mathfrak p коммутативного кольца R — это супремум длин цепочек[⇨] простых идеалов, содержащихся в \mathfrak p. Например, высота простого идеала, не содержащего других простых идеалов, равна 0. Размерность Крулля кольца R можно определить как супремум высоты по множеству простых идеалов.

В случае нётерова коммутативного кольца, согласно теореме Крулля, высота идеала, порождённого n элементами, не превосходит n.

Определение высоты можно распространить на произвольные идеалы, определив высоту идеала как минимум высот простых идеалов, содержащих данный идеал.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, — ISBN 0-226-42454-5. Page 32.
  • Eisenbud, David (1995), «Commutative algebra with a view toward algebraic geometry», vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1