Конечномерное пространство

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств

Всякий элемент $x$ конечномерного пространства $X$ представим единственным образом в виде

$x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},$

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P}$ где $\mathbb {P}$ — поле (часто $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$), над которым рассматривается пространство $X$, $e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X$ — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

• Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
• Пусть $X$ — конечномерное пространство и $\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}$ — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
• Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
• В любом конечномерном пространстве над полем $\mathbb {R}$ можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве $X$ с фиксированным базисом, размерности $n$, можно ввести скалярное произведение по правилу:
  $\forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}$, где $\{a_{k}\},\{b_{k}\}$ — компоненты векторов $x_{1}$ и $x_{2}$ соответственно.
  Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем $\mathbb {R}$ можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
  • $X$ — рефлексивное пространство.
  • Пространство $X^{*}$, сопряжённое к некоторому конечномерному пространству $X$, конечномерно и его размерность совпадает с размерностью $X$.
  • Для любого подпространства $M\subset X$ конечномерного пространства $X$ существует подпространство $M^{\perp }\subset X$ такое, что $\forall x\in M,\forall y\in M^{\perp },x\perp y$ и $X$ разлагается в прямую сумму $M$ и $M^{\perp }$, $X=M\oplus M^{\perp }$.
• В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
• Все нормы в конечномерном пространстве над полем $\mathbb {R}$ эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
• Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
• Пространство $X$ над полем $\mathbb {R}$ является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор $I:X\rightarrow X$ является вполне непрерывным.
• Пространство $X$ является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над $X$ обратимый вполне непрерывный оператор.
• Пространство $X$ является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в $X$ предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство $X$ является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в $X$ множество предкомпактно.
• Всякий линейный оператор $A:X\rightarrow Y$, определённый в конечномерном пространстве $X$ является непрерывным и даже вполне непрерывным.
• В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры

• Евклидово пространство $\mathbb {E} ^{3}$ имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

Более общий случай — пространства $\mathbb {R} ^{n}$ размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ($1\leq p<\infty$):

$\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p}}}}$ или $\|x\|_{\infty }=\max _{i=1,2,\dots ,n}{|x_{i}|}.$

Если ввести норму $\|x\|_{2}$ и скалярное произведение $(x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}},$ то пространство будет евклидовым.

• $P^{n}$ — пространство всех многочленов степени не выше $n$. Размерность этого пространства $n+1$. Многочлены $1,x,x^{2},...,x^{n}$ образуют в нём базис.
• Пусть $X$ — произвольное линейное пространство и пусть $\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

См. также

• Бесконечномерное пространство

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.