Раскрытие неопределённостей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

                        

(Здесь  — бесконечно малая величина, а  — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.


Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов , , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть и

Пример[править | править вики-текст]

  • «Первый замечательный предел»  — пример неопределённости вида . По правилу Лопиталя
  • Однако стоит отметить, что приведенное равенство нельзя рассматривать в качестве доказательства первого замечательного предела, поскольку данный предел используется в доказательстве формулы производной функции .