Распределение Вейбулла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Вейбулла
Плотность вероятности
Probability distribution function
Функция распределения
Cumulative distribution function
Обозначение \mathrm{W}(k,\lambda)
Параметры \lambda>0\, - коэффициент масштаба,
k>0\, - коэффициент формы
Носитель x \in [0; +\infty)\,
Плотность вероятности (k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}
Функция распределения 1- e^{-(x/\lambda)^k}
Математическое ожидание \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,
Медиана \lambda\ln(2)^{1/k}\,
Мода \frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k}}}{k^{\frac{1}{k}}}, для k>1
Дисперсия \lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,
Коэффициент асимметрии \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3}{\sigma^3}
Коэффициент эксцесса \frac{\lambda^4\Gamma\left(1+\frac4k\right)-4\lambda^3\mu\Gamma\left(1+\frac3k\right)+
6\lambda^2\mu^2\Gamma\left(1+\frac2k\right)-3\mu^4}{\sigma^4}
Информационная энтропия \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k
+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)
Производящая функция моментов \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma(1+n/k), \ k\geq1
Характеристическая функция \sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma(1+n/k)

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины ~X задаётся плотностью ~f_X(x), имеющей вид:

f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \ge 0 \\
0, & x < 0
\end{matrix}
\right..

Тогда говорят, что ~X имеет распределение Вейбулла. Пишут: ~X \sim \mathrm{W}(k,\lambda).

Если величину X принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда:

  • k < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем
  • k = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем
  • k > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем

В материаловедении коэффициент k известен как модуль Вейбулла.

Свойства[править | править вики-текст]

Функция плотности[править | править вики-текст]

Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < k < 1 плотность стремится к бесконечности при x\to 0+ и строго убывает. Для k = 1 плотность стремится к 1/λ при x\to 0+ и строго убывает. Для k > 1 плотность стремится к 0 при x\to 0+, возрастает до достижения своей моды и убывает после. Интересно отметить, что плотность имеет бесконечный отрицательный угловой коэффициент в x = 0 при 0 < k < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в x = 0 при 1 < k < 2, и нулевой угловой коэффициент в x = 0 при k > 2. При k = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в x = 0. При k\to \infty распределение Вейбулла сходится к дельта-функции, центрированной в x = λ. Кроме того, коэффициент асимметрии и коэффициент вариации зависят только от коэффициента формы.

Функция распределения[править | править вики-текст]

Функция распределения Вейбулла:

F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}\,

при x ≥ 0, и F(x; k; λ) = 0 при x < 0

Квантиль распределения Вейбулла:

Q(p;k,\lambda) = \lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k}

при 0 ≤ p < 1.

Интенсивность отказов h:

 h(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла

E\left[e^{t\log X}\right] = \lambda^t\Gamma\left(\frac{t}{k}+1\right),

где Γ – это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма X задаётся

E\left[e^{it\log X}\right] = \lambda^{it}\Gamma\left(\frac{it}{k}+1\right).

Моменты случайной величины ~X, имеющей распределение Вейбулла имеют вид

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right), где ~\Gammaгамма-функция,

откуда

\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right),
\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right].

Коэффициент асимметрии задаётся функцией

\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}

Коэффициент эксцесса

\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2
-4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2},

где \Gamma_i=\Gamma(1+i/k), так же может быть записан:

\gamma_{2}=\frac{\lambda^4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_{1}\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}-3

Производящая функция моментов[править | править вики-текст]

Существует множество выражений для производящей функции моментов самой ~X

E\left[e^{tX}\right] = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).

Так же можно работать непосредственно с интегралом

E\left[e^{tX}\right] = \int_0^\infty e^{tx} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}\,dx.

Если коэффициент k предполагается рациональным числом, выраженным k = p/q, где p и q целые, то интеграл может быть вычислен аналитически.[1] С заменой t на -t, получается

 E\left[e^{-tX}\right] = \frac1{ \lambda^k\, t^k} \, \frac{ p^k \, \sqrt{q/p}} {(\sqrt{2 \pi})^{q+p-2}} \, G_{p,q}^{\,q,p} \!\left( \left. \begin{matrix} \frac{1-k}{p}, \frac{2-k}{p}, \dots, \frac{p-k}{p} \\ \frac{0}{q}, \frac{1}{q}, \dots, \frac{q-1}{q} \end{matrix} \; \right| \, \frac {p^p} {\left( q \, \lambda^k \, t^k \right)^q} \right),

где G – это G-функция Мейера.

Информационная энтропия[править | править вики-текст]

Информационная энтропия задаётся таким образом


H(\lambda,k) = \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right) + \ln\left(\frac{\lambda}{k}\right) + 1,

где \gamma – это Постоянная Эйлера — Маскерони.

Оценка коэффициентов[править | править вики-текст]

Наибольшее правдоподобие[править | править вики-текст]

Оценка максимального правдоподобия для коэффициента \lambda

\hat \lambda^k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k

Для k


  \hat k^{-1} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^k \ln x_i }
                       {\sum_{i=1}^n x_i^k }
                  - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln x_i

Условная функция надёжности Вейбулла[править | править вики-текст]

Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:

 R(t|T)={ \frac{R(T+t)}{R(T)}}={\frac{e^{-\left( {\frac{T+t }{\lambda }}\right) ^{k }}}{e^{-\left( {\frac{T }{\lambda }}\right) ^{k }}}} \,\!
или
 R(t|T)=e^{-\left[ \left( {\frac{T+t }{\lambda }}\right) ^{k }-\left( {\frac{T}{\lambda }}\right) ^{k }\right] } \,\!

Для 3-х параметрического:

 R(t|T)={ \frac{R(T+t)}{R(T)}}={\frac{e^{-\left( {\frac{T+t-\theta }{\lambda }}\right) ^{k }}}{e^{-\left( {\frac{T-\theta }{\lambda }}\right) ^{k }}}} \,\!

Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё t времени при условии, что он уже проработал T.

График Вейбулла[править | править вики-текст]

Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла[2] . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси – \ln(-\ln(1-\hat F(x))) и \ln(x) Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде

\begin{align}
F(x) &= 1-e^{-(x/\lambda)^k}\\
-\ln(1-F(x)) &= (x/\lambda)^k\\
\underbrace{\ln(-\ln(1-F(x)))}_{\textrm{'y'}} &= \underbrace{k\ln x}_{\textrm{'mx'}} - \underbrace{k\ln \lambda}_{\textrm{'c'}}
\end{align}

Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.

Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя \hat F = \frac{i-0.3}{n+0.4}, где i – это ранг точки данных, а n – это общее количество точек.[3]

Использование[править | править вики-текст]

Распределение Вейбулла используется:

Соответствие функции распределения Вейбулла выпавшей за один день годовой норме дождей
  • В прогнозировании погоды
    • Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике
  • В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами клаттеров
  • В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях
  • В прогнозировании технологических изменений
  • В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а так же 90% доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении.
  • В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
  • Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • 3-х параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности
f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-({x-\theta \over \lambda})^k}\,

где x \geq \theta и f(x; k, λ, θ) = 0 при x < θ, где k >0 – коэффициент формы, \lambda >0 – коэффициент масштаба и \thetaкоэффициент сдвига распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.

  • 1-но параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая \theta=0 \,\! и k=C=Constant \,\!:
 f(t)={ \frac{C}{\lambda }}\left( {\frac{t}{\lambda }}\right) ^{C-1}e^{-\left( {\frac{t}{ \lambda }}\right) ^{C}} \,\!

Если X - экспоненциальное распределение \operatorname{Exp}(\lambda) для параметра \lambda, то случайная величина Y = X^{1/k} ~(k>0) имеет распределение Вейбулла \operatorname{W}(\lambda^{1/k}, k). Для доказательства рассмотрим функцию распределения Y:

F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^{1/k} \le y) = P(X \le y^k) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^k} = 1 - e^{-(\lambda^{1/k} \cdot y)^k},~y > 0

Полученная функция – функция распределения для распределения Вейбулла.

\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda).

функция распределения имеет вид

f(x;P_{\rm{80}},m) =  \begin{cases}
1-e^{ln\left(0.2\right)\left(\frac{x}{P_{\rm{80}}}\right)^m} & x\geq0 ,\\
0 & x<0 ,\end{cases}

где

x: Размер частицы
P_{\rm{80}}: 80-й процентиль распределения размера частиц
m: Коэффициент, описывающий размах распределения

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См. (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) для случая целого k, и (Sagias & Karagiannidis 2005) в случае рационального.
  2. график Вейбулла
  3. Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5
  4. Rayleigh Distribution - MATLAB & Simulink - MathWorks Australia
  5. Всемирная Метеорологическая Организация. Руководство по гидрологической практике. — 6. — Швейцария, 2012. — Т. 2. — С. 165. — ISBN 978-92-63-40168-7..

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Bvn-small.png          Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула