Распределение Вейбулла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Вейбулла
Плотность вероятности
Probability distribution function
Функция распределения
Cumulative distribution function
Обозначение
Параметры - коэффициент масштаба,
- коэффициент формы
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода для
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью , имеющей вид:

Тогда говорят, что имеет распределение Вейбулла. Пишут: .

Если величину X принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда:

  • k < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем
  • k = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем
  • k > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем

В материаловедении коэффициент k известен как модуль Вейбулла.

Свойства[править | править вики-текст]

Функция плотности[править | править вики-текст]

Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < k < 1 плотность стремится к бесконечности при и строго убывает. Для k = 1 плотность стремится к 1/λ при и строго убывает. Для k > 1 плотность стремится к 0 при , возрастает до достижения своей моды и убывает после. Интересно отметить, что плотность имеет бесконечный отрицательный угловой коэффициент в x = 0 при 0 < k < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в x = 0 при 1 < k < 2, и нулевой угловой коэффициент в x = 0 при k > 2. При k = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в x = 0. При распределение Вейбулла сходится к дельта-функции, центрированной в x = λ. Кроме того, коэффициент асимметрии и коэффициент вариации зависят только от коэффициента формы.

Функция распределения[править | править вики-текст]

Функция распределения Вейбулла:

при x ≥ 0, и F(x; k; λ) = 0 при x < 0

Квантиль распределения Вейбулла:

при 0 ≤ p < 1.

Интенсивность отказов h:

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла

где Γ – это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма X задаётся

Моменты случайной величины , имеющей распределение Вейбулла имеют вид

, где гамма-функция,

откуда

,
.

Коэффициент асимметрии задаётся функцией

Коэффициент эксцесса

где , так же может быть записан:

Производящая функция моментов[править | править вики-текст]

Существует множество выражений для производящей функции моментов самой

Так же можно работать непосредственно с интегралом

Если коэффициент k предполагается рациональным числом, выраженным k = p/q, где p и q целые, то интеграл может быть вычислен аналитически.[1] С заменой t на -t, получается

где G – это G-функция Мейера.

Информационная энтропия[править | править вики-текст]

Информационная энтропия задаётся таким образом

где – это Постоянная Эйлера — Маскерони.

Оценка коэффициентов[править | править вики-текст]

Наибольшее правдоподобие[править | править вики-текст]

Оценка максимального правдоподобия для коэффициента

Для

Условная функция надёжности Вейбулла[править | править вики-текст]

Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:

или

Для 3-х параметрического:

Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё времени при условии, что он уже проработал .

График Вейбулла[править | править вики-текст]

Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла[2] . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси – и Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде

Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.

Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя , где – это ранг точки данных, а – это общее количество точек.[3]

Использование[править | править вики-текст]

Распределение Вейбулла используется:

Соответствие функции распределения Вейбулла выпавшей за один день годовой норме дождей
  • В прогнозировании погоды
    • Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике
  • В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами клаттеров
  • В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях
  • В прогнозировании технологических изменений
  • В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а так же 90% доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении.
  • В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
  • Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • 3-х параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности

где и f(x; k, λ, θ) = 0 при x < θ, где – коэффициент формы, – коэффициент масштаба и коэффициент сдвига распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.

  • 1-но параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая и :

Если - экспоненциальное распределение для параметра , то случайная величина имеет распределение Вейбулла . Для доказательства рассмотрим функцию распределения :

Полученная функция – функция распределения для распределения Вейбулла.

.
  • С распределением Фреше: если , то .
  • С распределением Гумбеля: если , то .
  • Распределение Рэлея – частный случай распределения Вейбулла при и [4]
  • Распределение Вейбулла является частным случаем обобщённого распределения экстремальных значений[5]
  • Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в обогащении полезных ископаемых при измельчении. В этом контексте

функция распределения имеет вид

где

: Размер частицы
: 80-й процентиль распределения размера частиц
: Коэффициент, описывающий размах распределения

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См. (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) для случая целого k, и (Sagias & Karagiannidis 2005) в случае рационального.
  2. график Вейбулла
  3. Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5
  4. Rayleigh Distribution - MATLAB & Simulink - MathWorks Australia
  5. Всемирная Метеорологическая Организация. Руководство по гидрологической практике. — 6. — Швейцария, 2012. — Т. 2. — С. 165. — ISBN 978-92-63-40168-7..

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула