Распределение Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Коши
Плотность вероятности
Probability density function for the Cauchy distribtion
Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши
Функция распределения
Cumulative distribution function for the Normal distribution
Цвета находятся в соответствии с графиком выше
Обозначение
Параметры коэффициент сдвига
коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание (не существует)
Медиана
Мода
Дисперсия (не существует)
Коэффициент асимметрии (не существует)
Коэффициент эксцесса (не существует)
Информационная энтропия
Производящая функция моментов (не определена)
Характеристическая функция

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йтаВи́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью , имеющей вид:

,

где

  •  — параметр сдвига;
  •  — параметр масштаба.

Тогда говорят, что имеет распределение Коши и пишут . Если и , то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения[править | править вики-текст]

Функция распределения Коши имеет вид:

.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

Моменты[править | править вики-текст]

Так как интеграл Лебега

не определён для , ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства[править | править вики-текст]

  • Распределение Коши бесконечно делимо.
  • Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если , то

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • Если , то
.
  • Если независимые нормальные случайные величины, такие что , то
.
.

Появление в практических задачах[править | править вики-текст]

  • Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (т.е. направление прямой изотропно на плоскости).
  • В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
  • Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.


Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула