Распределение Пирсона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Распределение Пирсона — непрерывное распределение вероятностей, плотность вероятности которого является решением дифференциального уравнения , где числа являются параметрами распределения.[1] Частными случаями распределения Пирсона являются бета-распределение (распределение Пирсона I типа), гамма-распределение (распределение Пирсона III типа), распределение Стьюдента (распределение Пирсона VII типа), показательное распределение (распределение Пирсона X типа), нормальное распределение (распределение Пирсона XI типа). Распределения Пирсона широко используются в математической статистике при сглаживании распределений эмпирических данных. Для аппроксимации распределения вероятностей опытных данных численными методами вычисляют их первые четыре момента, а затем на их основе вычисляют параметры распределения Пирсона.[2]

Свойства[править | править код]

Распределения Пирсона полностью определяются первыми четырьмя моментами случайной величины. Пусть является центральным моментом случайной величины, имеющей распределение Пирсона. Тогда, если , то

,
,
,
,

где .[1]

Типы распределений Пирсона[править | править код]

В зависимости от распределения корней квадратного трёхчлена различают 12 типов распределений Пирсона. Обозначим , .[1]

I тип[править | править код]

Распределениями Пирсона I типа являются бета - распределения. Условия: , , , Плотность вероятности: , где , .[1]

II тип[править | править код]

Условия как для I типа с дополнительными условиями .[1]

III тип[править | править код]

Распределениями Пирсона III типа являются гамма-распределения. Условия: , , . Плотность вероятности: .[1]

IV тип[править | править код]

Условия: , , . Плотность вероятности: , , , где .[3]

V тип[править | править код]

Условия: , , . Плотность вероятности: .[3]

VI тип[править | править код]

Условия: , , . Плотность вероятности: .[3]

VII тип[править | править код]

Распределением Пирсона VII типа является распределение Стьюдента. Условия: , , . Плотность вероятности: , , .[3]

VIII тип[править | править код]

Условия: , , . Плотность вероятности: .[3]

IX тип[править | править код]

Условия: , , . Плотность вероятности: . [3]

X тип[править | править код]

Распределением Пирсона X типа является показательное распределение. Условия: , , , . Плотность вероятности: [2]

XI тип[править | править код]

Распределением Пирсона XI типа является нормальное распределение. Условия: , неопределённо, . Плотность вероятности: .[2]

XII тип[править | править код]

Условия как для I типа с дополнительными условиями .[1]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 4 5 6 7 Королюк, 1985, с. 133.
  2. 1 2 3 Королюк, 1985, с. 135.
  3. 1 2 3 4 5 6 Королюк, 1985, с. 134.

Литература[править | править код]